Номер 944, страница 268 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (944-946):

944. а) $\sqrt{-a} \cdot \sqrt[3]{a}$;

б) $\sqrt[3]{-x^2} \cdot \sqrt[4]{-x}$;

в) $\sqrt[3]{1-\sqrt{2}} \cdot \sqrt[6]{3+2\sqrt{2}}$;

г) $\sqrt{a-1} \cdot \sqrt[4]{1-a} \cdot (-\sqrt[3]{a}-7).$

а) $\sqrt{-a} \cdot \sqrt[3]{a}$

Для того чтобы выражение имело смысл, подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным: $-a \ge 0$, что означает $a \le 0$. Чтобы перемножить корни с разными показателями, приведем их к общему показателю. Наименьшее общее кратное для показателей 2 и 3 равно 6.

$\sqrt{-a} = (-a)^{1/2} = ((-a)^3)^{1/6} = \sqrt[6]{(-a)^3} = \sqrt[6]{-a^3}$.

$\sqrt[3]{a} = a^{1/3} = (a^2)^{1/6} = \sqrt[6]{a^2}$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$\sqrt[6]{-a^3} \cdot \sqrt[6]{a^2} = \sqrt[6]{(-a^3) \cdot a^2} = \sqrt[6]{-a^5}$.

Так как $a \le 0$, то $a^5 \le 0$, и $-a^5 \ge 0$. Выражение под корнем 6-й степени неотрицательно, следовательно, решение корректно.

Ответ: $\sqrt[6]{-a^5}$.

б) $\sqrt[3]{-x^2} \cdot \sqrt[4]{-x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четвертой степени должно быть неотрицательным: $-x \ge 0$, откуда $x \le 0$. Кубический корень определен для любого действительного числа. Приведем корни к общему показателю 12 (НОК(3, 4) = 12).

$\sqrt[3]{-x^2} = \sqrt[3 \cdot 4]{(-x^2)^4} = \sqrt[12]{(-1)^4 \cdot (x^2)^4} = \sqrt[12]{x^8}$.

$\sqrt[4]{-x} = \sqrt[4 \cdot 3]{(-x)^3} = \sqrt[12]{-x^3}$. (Это корректно, так как при $x \le 0$, $-x \ge 0$).

Перемножим корни:

$\sqrt[12]{x^8} \cdot \sqrt[12]{-x^3} = \sqrt[12]{x^8 \cdot (-x^3)} = \sqrt[12]{-x^{11}}$.

При $x \le 0$ выражение $-x^{11} \ge 0$, так что корень 12-й степени определен.

Ответ: $\sqrt[12]{-x^{11}}$.

в) $\sqrt[3]{1-\sqrt{2}} \cdot \sqrt[6]{3+2\sqrt{2}}$

Упростим второй множитель. Заметим, что выражение под корнем является полным квадратом:

$3+2\sqrt{2} = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (1+\sqrt{2})^2$.

Тогда $\sqrt[6]{3+2\sqrt{2}} = \sqrt[6]{(1+\sqrt{2})^2}$. Используя свойство $\sqrt[nk]{a^k} = \sqrt[n]{a}$ для $a \ge 0$, получаем:

$\sqrt[6]{(1+\sqrt{2})^2} = \sqrt[3]{1+\sqrt{2}}$.

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$\sqrt[3]{1-\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{1+\sqrt{2}}$.

Используя свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, получаем:

$\sqrt[3]{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} = \sqrt[3]{1^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt[3]{1-2} = \sqrt[3]{-1} = -1$.

Ответ: $-1$.

г) $\sqrt{a-1} \cdot \sqrt[4]{1-a} \cdot (-\sqrt[3]{a-7})$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной $a$.

1. Для существования корня $\sqrt{a-1}$, необходимо, чтобы $a-1 \ge 0$, то есть $a \ge 1$.

2. Для существования корня $\sqrt[4]{1-a}$, необходимо, чтобы $1-a \ge 0$, то есть $a \le 1$.

3. Кубический корень $\sqrt[3]{a-7}$ определен для любого действительного значения $a$.

Система неравенств $\begin{cases} a \ge 1 \\ a \le 1 \end{cases}$ имеет единственное решение: $a=1$. Следовательно, данное выражение определено только при $a=1$. Подставим это значение в выражение:

$\sqrt{1-1} \cdot \sqrt[4]{1-1} \cdot (-\sqrt[3]{1-7}) = \sqrt{0} \cdot \sqrt[4]{0} \cdot (-\sqrt[3]{-6}) = 0 \cdot 0 \cdot \sqrt[3]{6} = 0$.

Ответ: $0$.