Номер 951, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

951. a) $(\sqrt[3]{108a^4b^{-1}} - \sqrt[3]{32a^{-2}b^5}) : \sqrt[3]{4ab^2};$

б) $(x^2y^3\sqrt[5]{\frac{243y^{-4}}{x^{-5}}} + \frac{y}{x^{-1}}\sqrt[5]{\frac{32x^{10}}{y^{-6}}}) : \sqrt[5]{y^{-4}}.$

а) Для решения данного примера воспользуемся свойством частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ и распределительным свойством деления $(x-y):z = x:z - y:z$.
$(\sqrt[3]{108a^4b^{-1}} - \sqrt[3]{32a^{-2}b^5}) : \sqrt[3]{4ab^2} = \frac{\sqrt[3]{108a^4b^{-1}}}{\sqrt[3]{4ab^2}} - \frac{\sqrt[3]{32a^{-2}b^5}}{\sqrt[3]{4ab^2}}$
Теперь упростим каждое из получившихся частных:
1) $\frac{\sqrt[3]{108a^4b^{-1}}}{\sqrt[3]{4ab^2}} = \sqrt[3]{\frac{108a^4b^{-1}}{4ab^2}} = \sqrt[3]{27a^{4-1}b^{-1-2}} = \sqrt[3]{27a^3b^{-3}} = \sqrt[3]{(3ab^{-1})^3} = 3ab^{-1} = \frac{3a}{b}$
2) $\frac{\sqrt[3]{32a^{-2}b^5}}{\sqrt[3]{4ab^2}} = \sqrt[3]{\frac{32a^{-2}b^5}{4ab^2}} = \sqrt[3]{8a^{-2-1}b^{5-2}} = \sqrt[3]{8a^{-3}b^3} = \sqrt[3]{(2a^{-1}b)^3} = 2a^{-1}b = \frac{2b}{a}$
Выполним вычитание полученных выражений, приведя их к общему знаменателю:
$\frac{3a}{b} - \frac{2b}{a} = \frac{3a \cdot a}{ab} - \frac{2b \cdot b}{ab} = \frac{3a^2 - 2b^2}{ab}$
Ответ: $\frac{3a^2 - 2b^2}{ab}$

б) Для решения данного примера также воспользуемся распределительным свойством деления $(x+y):z = x:z + y:z$.
$(x^2y^3 \sqrt[5]{\frac{243y^{-4}}{x^{-5}}} + \frac{y}{x^{-1}} \sqrt[5]{\frac{32x^{10}}{y^{-6}}}) : \sqrt[5]{y^{-4}} = (x^2y^3 \sqrt[5]{\frac{243y^{-4}}{x^{-5}}}) : \sqrt[5]{y^{-4}} + (\frac{y}{x^{-1}} \sqrt[5]{\frac{32x^{10}}{y^{-6}}}) : \sqrt[5]{y^{-4}}$
Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:
1) Первое слагаемое:
$x^2y^3 \frac{\sqrt[5]{\frac{243y^{-4}}{x^{-5}}}}{\sqrt[5]{y^{-4}}} = x^2y^3 \sqrt[5]{\frac{243y^{-4}}{x^{-5}y^{-4}}} = x^2y^3 \sqrt[5]{\frac{243}{x^{-5}}} = x^2y^3 \sqrt[5]{243x^5}$
Так как $243 = 3^5$, то:
$x^2y^3 \sqrt[5]{3^5x^5} = x^2y^3 \cdot (3x) = 3x^3y^3$
2) Второе слагаемое:
$(\frac{y}{x^{-1}} \sqrt[5]{\frac{32x^{10}}{y^{-6}}}) : \sqrt[5]{y^{-4}} = yx \frac{\sqrt[5]{\frac{32x^{10}}{y^{-6}}}}{\sqrt[5]{y^{-4}}} = yx \sqrt[5]{\frac{32x^{10}}{y^{-6}y^{-4}}} = yx \sqrt[5]{\frac{32x^{10}}{y^{-10}}} = yx \sqrt[5]{32x^{10}y^{10}}$
Так как $32 = 2^5$, то:
$yx \sqrt[5]{2^5x^{10}y^{10}} = yx \sqrt[5]{(2x^2y^2)^5} = yx \cdot (2x^2y^2) = 2x^3y^3$
Сложим полученные результаты:
$3x^3y^3 + 2x^3y^3 = 5x^3y^3$
Ответ: $5x^3y^3$