Номер 957, страница 270 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

957. a) $(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}});$

б) $(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}});$

в) $(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n);$

г) $(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b).$

а) $(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})$

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

В нашем случае $x = m^{\frac{1}{2}}$ и $y = n^{\frac{1}{2}}$.

Подставим эти значения в формулу:

$(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}) = (m^{\frac{1}{2}})^2 - (n^{\frac{1}{2}})^2$

Используя свойство степени $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$, получаем:

$(m^{\frac{1}{2}})^2 = m^{\frac{1}{2} \cdot 2} = m^1 = m$

$(n^{\frac{1}{2}})^2 = n^{\frac{1}{2} \cdot 2} = n^1 = n$

Таким образом, итоговое выражение равно $m - n$.

Ответ: $m - n$

б) $(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})$

Этот пример также решается с помощью формулы разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

Здесь $x = a^{\frac{2}{3}}$ и $y = b^{\frac{2}{3}}$.

Применяем формулу:

$(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}) = (a^{\frac{2}{3}})^2 - (b^{\frac{2}{3}})^2$

По свойству степени $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$:

$(a^{\frac{2}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3} \cdot 2} = a^{\frac{4}{3}}$

$(b^{\frac{2}{3}})^2 = b^{\frac{2}{3} \cdot 2} = b^{\frac{4}{3}}$

В результате получаем $a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}}$.

Ответ: $a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}}$

в) $(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n)$

Данное выражение соответствует формуле сокращенного умножения "разность кубов": $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3$.

Определим $x$ и $y$. Пусть $x = m^{\frac{1}{2}}$ и $y = n^{\frac{1}{2}}$.

Тогда $x^2 = (m^{\frac{1}{2}})^2 = m$, $y^2 = (n^{\frac{1}{2}})^2 = n$, и $xy = m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}}$.

Таким образом, наше выражение можно переписать как $(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})((m^{\frac{1}{2}})^2 + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + (n^{\frac{1}{2}})^2)$, что полностью соответствует формуле разности кубов.

Результатом будет $x^3 - y^3$:

$(m^{\frac{1}{2}})^3 - (n^{\frac{1}{2}})^3 = m^{\frac{1}{2} \cdot 3} - n^{\frac{1}{2} \cdot 3} = m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}$

Ответ: $m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}$

г) $(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$

Это выражение соответствует формуле сокращенного умножения "сумма кубов": $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3 + y^3$.

Определим $x$ и $y$. Пусть $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = b^{\frac{1}{2}}$.

Тогда $x^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 = a$, $y^2 = (b^{\frac{1}{2}})^2 = b$, и $xy = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$.

Выражение можно записать в виде $(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})((a^{\frac{1}{2}})^2 - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + (b^{\frac{1}{2}})^2)$, что является формулой суммы кубов.

Результатом будет $x^3 + y^3$:

$(a^{\frac{1}{2}})^3 + (b^{\frac{1}{2}})^3 = a^{\frac{1}{2} \cdot 3} + b^{\frac{1}{2} \cdot 3} = a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}$

Ответ: $a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}$