Номер 964, страница 271 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

964. Дан многочлен $x^3 - 5x^2 + 8x$. Известно, что если значение $x$ увеличить на 1, то значение многочлена не изменится. Найдите это значение $x$.

Пусть дан многочлен $P(x) = x^3 - 5x^2 + 8x$.

Согласно условию, если значение $x$ увеличить на 1, то значение многочлена не изменится. Математически это можно выразить как равенство: $P(x+1) = P(x)$.

Запишем это равенство, подставив в него выражение для многочлена: $(x+1)^3 - 5(x+1)^2 + 8(x+1) = x^3 - 5x^2 + 8x$.

Раскроем скобки в левой части уравнения. Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $(x^3 + 3x^2 \cdot 1 + 3x \cdot 1^2 + 1^3) - 5(x^2 + 2x + 1) + (8x + 8) = x^3 - 5x^2 + 8x$.

Упростим левую часть: $x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - 5x^2 - 10x - 5 + 8x + 8 = x^3 - 5x^2 + 8x$.

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения: $x^3 + (3x^2 - 5x^2) + (3x - 10x + 8x) + (1 - 5 + 8) = x^3 - 5x^2 + 8x$ $x^3 - 2x^2 + x + 4 = x^3 - 5x^2 + 8x$.

Сократим одинаковые слагаемые ($x^3$) в обеих частях и перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $x^3 - 2x^2 + x + 4 - x^3 + 5x^2 - 8x = 0$ $(-2x^2 + 5x^2) + (x - 8x) + 4 = 0$ $3x^2 - 7x + 4 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=3$, $b=-7$, $c=4$. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. $x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Следовательно, условию задачи удовлетворяют два значения $x$.

Ответ: $1$ и $\frac{4}{3}$.