Номер 959, страница 270 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Преобразуем выражение, заменив степени $0,5$ на квадратные корни: $x^{0,5} = \sqrt{x}$ и $y^{0,5} = \sqrt{y}$.

$ \frac{(x^{0,5} + y^{0,5})(x^{0,5} + 5y^{0,5}) - (x^{0,5} + 2y^{0,5})(x^{0,5} - 2y^{0,5})}{3\sqrt{y}(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})} = \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + 5\sqrt{y}) - (\sqrt{x} + 2\sqrt{y})(\sqrt{x} - 2\sqrt{y})}{3\sqrt{y}(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})} $

Раскроем скобки в числителе. Первое произведение:

$ (\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + 5\sqrt{y}) = (\sqrt{x})^2 + 5\sqrt{x}\sqrt{y} + \sqrt{y}\sqrt{x} + 5(\sqrt{y})^2 = x + 6\sqrt{xy} + 5y $

Второе произведение упростим, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$ (\sqrt{x} + 2\sqrt{y})(\sqrt{x} - 2\sqrt{y}) = (\sqrt{x})^2 - (2\sqrt{y})^2 = x - 4y $

Подставим полученные выражения в числитель:

$ (x + 6\sqrt{xy} + 5y) - (x - 4y) = x + 6\sqrt{xy} + 5y - x + 4y = 6\sqrt{xy} + 9y $

Теперь вынесем общий множитель $3\sqrt{y}$ в числителе:

$ 6\sqrt{xy} + 9y = 3\sqrt{y} \cdot 2\sqrt{x} + 3\sqrt{y} \cdot 3\sqrt{y} = 3\sqrt{y}(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y}) $

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$ \frac{3\sqrt{y}(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})}{3\sqrt{y}(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})} $

Сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе, получаем 1.

Ответ: $1$

Рассмотрим первое произведение: $ \sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1} $.

Используя свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, объединим выражения под один кубический корень:

$ \sqrt[3]{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)} $

Выражение в скобках представляет собой формулу разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$, где $a=\sqrt[3]{x}$ и $b=1$.

Применим формулу:

$ (\sqrt[3]{x}-1)((\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}\cdot1+1^2) = (\sqrt[3]{x})^3 - 1^3 = x-1 $

Таким образом, первое произведение равно $\sqrt[3]{x-1}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$ \sqrt[3]{x-1} - \sqrt[3]{x-1} = 0 $

Ответ: $0$

Рассмотрим выражение: $ \left( \frac{\frac{1}{x} - x}{(\sqrt[3]{x} + x^{-\frac{1}{3}} + 1)(\sqrt[3]{x} + x^{-\frac{1}{3}} - 1)} + x^{\frac{1}{3}} \right)^{-3} $.

Сначала упростим знаменатель дроби. Перепишем его, используя дробные показатели: $ (x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}} + 1)(x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}} - 1) $.

Это разность квадратов вида $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$, где $A = x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}}$ и $B=1$.

$ (x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}})^2 - 1^2 = (x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}x^{-\frac{1}{3}} + x^{-\frac{2}{3}}) - 1 = x^{\frac{2}{3}} + 2x^0 + x^{-\frac{2}{3}} - 1 = x^{\frac{2}{3}} + 1 + x^{-\frac{2}{3}} $

Теперь упростим числитель дроби: $ \frac{1}{x} - x = x^{-1} - x $.

Используем формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. Пусть $a=x^{-1/3}$ и $b=x^{1/3}$. Тогда $a^3-b^3 = (x^{-1/3})^3 - (x^{1/3})^3 = x^{-1}-x$.

$ x^{-1}-x = (x^{-1/3} - x^{1/3})((x^{-1/3})^2 + x^{-1/3}x^{1/3} + (x^{1/3})^2) = (x^{-1/3} - x^{1/3})(x^{-2/3} + 1 + x^{2/3}) $

Теперь вся дробь имеет вид:

$ \frac{(x^{-1/3} - x^{1/3})(x^{-2/3} + 1 + x^{2/3})}{x^{2/3} + 1 + x^{-2/3}} = x^{-1/3} - x^{1/3} $

Подставим упрощенную дробь в исходное выражение:

$ ( (x^{-1/3} - x^{1/3}) + x^{1/3} )^{-3} = (x^{-1/3})^{-3} $

По свойству степеней $(a^m)^n = a^{mn}$:

$ x^{(-1/3) \cdot (-3)} = x^1 = x $

Ответ: $x$

Рассмотрим выражение: $ \sqrt{x} \left( \frac{x + \sqrt[4]{x^3y^2} + y\sqrt[4]{xy^2} + y^2}{(\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})^2} - y \right)^{-1} + \frac{1}{x^{-0,25}y^{0,5} - 1} $.

Для упрощения дроби в скобках введем замены: $a = \sqrt[4]{x} = x^{1/4}$ и $b = \sqrt{y} = y^{1/2}$.

Преобразуем числитель дроби:

$ x = (x^{1/4})^4 = a^4 $

$ \sqrt[4]{x^3y^2} = x^{3/4}y^{2/4} = x^{3/4}y^{1/2} = a^3b $

$ y\sqrt[4]{xy^2} = y \cdot x^{1/4} y^{2/4} = y^{1}x^{1/4}y^{1/2} = (y^{1/2})^2 \cdot a \cdot b = b^2ab = ab^3 $

$ y^2 = (y^{1/2})^4 = b^4 $

Числитель равен $a^4 + a^3b + ab^3 + b^4$. Сгруппируем и вынесем общие множители: $a^3(a+b) + b^3(a+b) = (a+b)(a^3+b^3)$.

Знаменатель дроби: $(\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})^2 = (a+b)^2$.

Дробь принимает вид: $ \frac{(a+b)(a^3+b^3)}{(a+b)^2} = \frac{a^3+b^3}{a+b} $.

По формуле суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, получаем:

$ \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a+b} = a^2-ab+b^2 $.

Подставляем обратно $a=x^{1/4}, b=y^{1/2}$: $ (x^{1/4})^2 - x^{1/4}y^{1/2} + (y^{1/2})^2 = x^{1/2} - x^{1/4}y^{1/2} + y $.

Теперь упростим выражение в больших скобках:

$ (\frac{...}{...} - y) = (x^{1/2} - x^{1/4}y^{1/2} + y) - y = x^{1/2} - x^{1/4}y^{1/2} $.

Первый член исходного выражения:

$ \sqrt{x} (x^{1/2} - x^{1/4}y^{1/2})^{-1} = x^{1/2} \cdot \frac{1}{x^{1/2} - x^{1/4}y^{1/2}} = \frac{x^{1/2}}{x^{1/4}(x^{1/4} - y^{1/2})} = \frac{x^{1/2-1/4}}{x^{1/4} - y^{1/2}} = \frac{x^{1/4}}{x^{1/4} - y^{1/2}} $.

Теперь рассмотрим второй член:

$ \frac{1}{x^{-0,25}y^{0,5} - 1} = \frac{1}{x^{-1/4}y^{1/2} - 1} $.

Домножим числитель и знаменатель на $x^{1/4}$:

$ \frac{1 \cdot x^{1/4}}{(x^{-1/4}y^{1/2} - 1)x^{1/4}} = \frac{x^{1/4}}{x^0y^{1/2} - x^{1/4}} = \frac{x^{1/4}}{y^{1/2} - x^{1/4}} $.

Сложим оба упрощенных члена:

$ \frac{x^{1/4}}{x^{1/4} - y^{1/2}} + \frac{x^{1/4}}{y^{1/2} - x^{1/4}} = \frac{x^{1/4}}{x^{1/4} - y^{1/2}} - \frac{x^{1/4}}{x^{1/4} - y^{1/2}} = 0 $.

Ответ: $0$