Номер 954, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

954. Внесите множитель под знак корня:

а) $(a - 1)\sqrt{\frac{3a}{1 - a^2}}$, $0 < a < 1$;

б) $(2 - a)\sqrt{\frac{2a}{a - 2}}$, $a > 2$.

а) Дано выражение $(a-1)\sqrt{\frac{3a}{1-a^2}}$ при условии $0 < a < 1$.

Чтобы внести множитель $(a-1)$ под знак корня, сначала определим его знак. Так как по условию $0 < a < 1$, то выражение $(a-1)$ является отрицательным.

При внесении отрицательного множителя $M$ под знак квадратного корня, мы оставляем знак "минус" перед корнем, а под корень вносим квадрат этого множителя. То есть, если $M < 0$, то $M\sqrt{B} = -\sqrt{M^2 B}$.

В данном случае $M = a-1$. Выполним преобразование:

$(a-1)\sqrt{\frac{3a}{1-a^2}} = -\sqrt{(a-1)^2 \cdot \frac{3a}{1-a^2}}$

Теперь упростим подкоренное выражение. Используем тождество $(a-1)^2 = (1-a)^2$ и формулу разности квадратов для знаменателя: $1-a^2 = (1-a)(1+a)$.

$-\sqrt{(1-a)^2 \cdot \frac{3a}{(1-a)(1+a)}}$

Сократим дробь на множитель $(1-a)$, так как при $0 < a < 1$ он не равен нулю:

$-\sqrt{\frac{(1-a) \cdot 3a}{1+a}} = -\sqrt{\frac{3a(1-a)}{1+a}}$

Ответ: $-\sqrt{\frac{3a(1-a)}{1+a}}$

б) Дано выражение $(2-a)\sqrt{\frac{2a}{a-2}}$ при условии $a > 2$.

Определим знак множителя $(2-a)$. Так как по условию $a > 2$, то выражение $(2-a)$ является отрицательным.

Поскольку множитель отрицательный, при внесении его под знак корня мы оставляем "минус" перед корнем, а под корень вносим множитель, возведенный в квадрат.

$(2-a)\sqrt{\frac{2a}{a-2}} = -\sqrt{(2-a)^2 \cdot \frac{2a}{a-2}}$

Упростим подкоренное выражение. Заметим, что $(2-a)^2 = (-(a-2))^2 = (a-2)^2$.

$-\sqrt{(a-2)^2 \cdot \frac{2a}{a-2}}$

Сократим дробь на множитель $(a-2)$, так как при $a > 2$ он не равен нулю:

$-\sqrt{(a-2) \cdot 2a} = -\sqrt{2a(a-2)}$

Ответ: $-\sqrt{2a(a-2)}$