Номер 961, страница 271 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

961. a) $ \frac{\frac{a^{1.5} + b^{1.5}}{a^{0.5} + b^{0.5}} - a^{0.5}b^{0.5}}{a - b} + \frac{2b^{0.5}}{a^{0.5} + b^{0.5}} $;

б) $ \frac{3^{1.5}}{(3^{0.5})^3 a^{\frac{1}{6}} - a^{\frac{2}{3}}} + \frac{a^{\frac{5}{6}} + 3^{1.5}a^{\frac{1}{3}}}{ (a^{\frac{1}{3}} + 3) } \cdot \left( \frac{1}{a^{\frac{1}{2}} - b} - \frac{1}{a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{2}}} \right) $.

а)

Упростим данное выражение по частям. Исходное выражение:

$$ \frac{\frac{a^{1,5} + b^{1,5}}{a^{0,5} + b^{0,5}} - a^{0,5}b^{0,5}}{a - b} + \frac{2b^{0,5}}{a^{0,5} + b^{0,5}} $$

1. Сначала упростим числитель первой дроби: $ \frac{a^{1,5} + b^{1,5}}{a^{0,5} + b^{0,5}} - a^{0,5}b^{0,5} $.

Используем формулу суммы кубов $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) $.

Пусть $ x = a^{0,5} $ и $ y = b^{0,5} $. Тогда $ x^3 = a^{1,5} $ и $ y^3 = b^{1,5} $.

Получаем:

$$ \frac{(a^{0,5})^3 + (b^{0,5})^3}{a^{0,5} + b^{0,5}} - a^{0,5}b^{0,5} = \frac{(a^{0,5} + b^{0,5})( (a^{0,5})^2 - a^{0,5}b^{0,5} + (b^{0,5})^2 )}{a^{0,5} + b^{0,5}} - a^{0,5}b^{0,5} $$

Сокращаем $ (a^{0,5} + b^{0,5}) $:

$$ (a - a^{0,5}b^{0,5} + b) - a^{0,5}b^{0,5} = a - 2a^{0,5}b^{0,5} + b $$

Это выражение является полным квадратом разности:

$$ a - 2a^{0,5}b^{0,5} + b = (a^{0,5} - b^{0,5})^2 $$

2. Теперь подставим полученное выражение обратно в первую дробь. Знаменатель первой дроби $ a - b $ можно разложить по формуле разности квадратов:

$$ a - b = (a^{0,5})^2 - (b^{0,5})^2 = (a^{0,5} - b^{0,5})(a^{0,5} + b^{0,5}) $$

Таким образом, первая дробь принимает вид:

$$ \frac{(a^{0,5} - b^{0,5})^2}{(a^{0,5} - b^{0,5})(a^{0,5} + b^{0,5})} = \frac{a^{0,5} - b^{0,5}}{a^{0,5} + b^{0,5}} $$

3. Теперь сложим результат со второй дробью:

$$ \frac{a^{0,5} - b^{0,5}}{a^{0,5} + b^{0,5}} + \frac{2b^{0,5}}{a^{0,5} + b^{0,5}} $$

Так как знаменатели одинаковы, складываем числители:

$$ \frac{a^{0,5} - b^{0,5} + 2b^{0,5}}{a^{0,5} + b^{0,5}} = \frac{a^{0,5} + b^{0,5}}{a^{0,5} + b^{0,5}} = 1 $$

Ответ: $1$

б)

Данное выражение, скорее всего, содержит опечатки. В частности, переменная $b$ встречается только в одном множителе, в то время как остальная часть выражения зависит от переменной $a$ и константы 3. Это делает маловероятным значительное упрощение выражения в его исходном виде.

Наиболее вероятная опечатка — это замена $b$ на 3. Выполним решение с этой заменой. Исходное выражение с заменой $ b=3 $:

$$ \frac{3^{1,5}}{(3^{0,5})^3 a^{\frac{1}{6}} - a^{\frac{2}{3}}} + \frac{a^{\frac{5}{6}} + 3^{1,5}a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + 3} \cdot \left( \frac{1}{a^{\frac{1}{2}} - 3} - \frac{1}{a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{4}}3^{\frac{1}{2}}} \right) $$

1. Упростим выражение в скобках:

$$ \frac{1}{a^{\frac{1}{2}} - 3} - \frac{1}{a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{4}}3^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{(a^{\frac{1}{4}})^2 - (3^{\frac{1}{2}})^2} - \frac{1}{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - 3^{\frac{1}{2}})} $$

$$ = \frac{1}{(a^{\frac{1}{4}} - 3^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{4}} + 3^{\frac{1}{2}})} - \frac{1}{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - 3^{\frac{1}{2}})} $$

Приводим к общему знаменателю $ a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - 3^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{4}} + 3^{\frac{1}{2}}) = a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{2}} - 3) $:

$$ = \frac{a^{\frac{1}{4}} - (a^{\frac{1}{4}} + 3^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{2}} - 3)} = \frac{-3^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{2}} - 3)} $$

2. Упростим первый член выражения:

$$ \frac{3^{1,5}}{(3^{0,5})^3 a^{\frac{1}{6}} - a^{\frac{2}{3}}} = \frac{3^{1,5}}{3^{1,5} a^{\frac{1}{6}} - a^{\frac{4}{6}}} = \frac{3^{1,5}}{a^{\frac{1}{6}}(3^{1,5} - a^{\frac{1}{2}})} $$

3. Рассмотрим второй член выражения. Он состоит из произведения двух дробей:

$$ \frac{a^{\frac{5}{6}} + 3^{1,5}a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + 3} \cdot \frac{-3^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{2}} - 3)} $$

Вынесем $ a^{\frac{1}{3}} $ в числителе первой дроби:

$$ \frac{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{2}} + 3^{1,5})}{a^{\frac{1}{3}} + 3} \cdot \frac{-3^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{2}} - 3)} = - \frac{a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + 3^{1,5})}{(a^{\frac{1}{3}} + 3)(a^{\frac{1}{2}} - 3)} $$

$$ = - \frac{a^{\frac{1}{12}} \cdot 3^{0,5}(a^{0,5} + 3^{1,5})}{(a^{\frac{1}{3}} + 3)(a^{\frac{1}{2}} - 3)} $$

4. Соберем все вместе:

$$ \frac{3^{1,5}}{a^{\frac{1}{6}}(3^{1,5} - a^{\frac{1}{2}})} - \frac{3^{0,5} a^{\frac{1}{12}}(a^{0,5} + 3^{1,5})}{(a^{\frac{1}{3}} + 3)(a^{0,5} - 3)} $$

Дальнейшее упрощение без дополнительных предположений о структуре исходного примера не представляется возможным. Полученное выражение является ответом при условии сделанной замены $b=3$.

Ответ: $ \frac{3^{1,5}}{a^{\frac{1}{6}}(3^{1,5} - a^{\frac{1}{2}})} - \frac{\sqrt{3} a^{\frac{1}{12}}(a^{\frac{1}{2}} + 3\sqrt{3})}{(a^{\frac{1}{3}} + 3)(a^{\frac{1}{2}} - 3)} $