Номер 967, страница 271 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

967. Найдите все значения $t$, при каждом из которых квадратное уравнение $2x^2 - 5x - t = 0$ имеет два положительных различных корня.

Для того чтобы квадратное уравнение $2x^2 - 5x - t = 0$ имело два различных положительных корня, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись три условия одновременно:

1. Дискриминант уравнения должен быть строго положительным ($D > 0$), что обеспечивает наличие двух различных действительных корней.

2. Сумма корней должна быть положительной ($x_1 + x_2 > 0$).

3. Произведение корней должно быть положительным ($x_1 \cdot x_2 > 0$).

Применим эти условия к данному уравнению, где коэффициенты $a=2$, $b=-5$, $c=-t$.

Найдём дискриминант и применим первое условие:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-t) = 25 + 8t$.

$D > 0 \implies 25 + 8t > 0$

$8t > -25$

$t > -\frac{25}{8}$

Применим второе и третье условия, используя теорему Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}$.

Условие $x_1 + x_2 > 0$ выполняется, так как $\frac{5}{2} > 0$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-t}{2}$.

Условие $x_1 \cdot x_2 > 0$ дает нам неравенство:

$\frac{-t}{2} > 0$

Умножим обе части на $-2$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$t < 0$

Объединим все условия в систему неравенств:

Для того чтобы уравнение имело два различных положительных корня, параметр $t$ должен удовлетворять системе:$$\begin{cases} t > -\frac{25}{8} \\ t < 0\end{cases}$$

Решением данной системы является интервал $(-\frac{25}{8}; 0)$.

Ответ: $t \in (-\frac{25}{8}; 0)$.