Номер 973, страница 272 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

973. При каких значениях $t$ уравнение $(t+1)x^2 + 2(t-1)x + t - 3 = 0$ имеет два действительных корня:

a) отрицательных;

б) положительных;

в) разных знаков, причём положительный корень имеет большую абсолютную величину;

г) разных знаков, причём отрицательный корень имеет большую абсолютную величину?

Рассмотрим данное уравнение $(t+1)x^2 + 2(t-1)x + t-3=0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$ с коэффициентами, зависящими от параметра $t$: $a = t+1$, $b = 2(t-1)$, $c = t-3$.

Для того чтобы уравнение имело два действительных корня, необходимо, чтобы оно было квадратным и его дискриминант был положительным.

1. Условие, что уравнение является квадратным: коэффициент при $x^2$ не равен нулю. $a = t+1 \neq 0$, что означает $t \neq -1$. Если $t = -1$, уравнение становится линейным: $0 \cdot x^2 + 2(-1-1)x + (-1-3) = 0$, или $-4x-4=0$, которое имеет только один корень $x=-1$. Следовательно, условие $t \neq -1$ является обязательным для всех пунктов задачи.

2. Условие наличия двух действительных корней: дискриминант $D$ должен быть положительным ($D>0$). В данном случае коэффициент $b$ четный, поэтому удобнее вычислить $D/4 = (b/2)^2 - ac$. $D/4 = (t-1)^2 - (t+1)(t-3) = (t^2 - 2t + 1) - (t^2 - 2t - 3) = t^2 - 2t + 1 - t^2 + 2t + 3 = 4$.

Поскольку $D/4 = 4$, то $D = 16$. Так как $D=16>0$ при любом значении $t$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня при условии, что оно является квадратным, то есть при $t \neq -1$.

Для анализа знаков корней воспользуемся теоремой Виета. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{2(t-1)}{t+1} = \frac{2(1-t)}{t+1}$. Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{t-3}{t+1}$.

а) отрицательных;

Чтобы оба корня были отрицательными ($x_1 < 0$ и $x_2 < 0$), необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

• Произведение корней положительно: $x_1 x_2 > 0$.
• Сумма корней отрицательна: $x_1 + x_2 < 0$.

Составим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{t-3}{t+1} > 0 \\ \frac{2(1-t)}{t+1} < 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $t=3$ и $t=-1$. Оно выполняется, когда $t \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.
Решим второе неравенство $\frac{1-t}{t+1} < 0$. Нули: $t=1$ и $t=-1$. Оно выполняется, когда $t \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств: $t \in ((-\infty, -1) \cup (3, \infty)) \cap ((-\infty, -1) \cup (1, \infty))$.
Пересечением является объединение интервалов $(-\infty, -1)$ и $(3, \infty)$.

Ответ: $t \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

б) положительных;

Чтобы оба корня были положительными ($x_1 > 0$ и $x_2 > 0$), необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

• Произведение корней положительно: $x_1 x_2 > 0$.
• Сумма корней положительна: $x_1 + x_2 > 0$.

Составим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{t-3}{t+1} > 0 \\ \frac{2(1-t)}{t+1} > 0 \end{cases} $$ Решение первого неравенства (из пункта а)): $t \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.
Решим второе неравенство $\frac{1-t}{t+1} > 0$. Нули: $t=1$ и $t=-1$. Оно выполняется, когда $t \in (-1, 1)$.
Найдем пересечение решений: $t \in ((-\infty, -1) \cup (3, \infty)) \cap (-1, 1)$.
Данные множества не пересекаются.

Ответ: таких значений $t$ не существует.

в) разных знаков, причём положительный корень имеет большую абсолютную величину;

Чтобы корни имели разные знаки, их произведение должно быть отрицательным: $x_1 x_2 = \frac{t-3}{t+1} < 0$. Это неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, то есть при $t \in (-1, 3)$.
Условие, что положительный корень имеет большую абсолютную величину (например, $x_1 > 0, x_2 < 0$ и $|x_1| > |x_2|$), означает, что сумма корней положительна: $x_1 + x_2 > 0$. $x_1 + x_2 = \frac{2(1-t)}{t+1} > 0$. Как мы выяснили в пункте б), это неравенство выполняется при $t \in (-1, 1)$.
Найдем пересечение полученных интервалов: $t \in (-1, 3) \cap (-1, 1)$.
Пересечением является интервал $(-1, 1)$.

Ответ: $t \in (-1, 1)$.

г) разных знаков, причём отрицательный корень имеет большую абсолютную величину?

Как и в предыдущем пункте, для того чтобы корни имели разные знаки, их произведение должно быть отрицательным: $x_1 x_2 = \frac{t-3}{t+1} < 0$, что выполняется при $t \in (-1, 3)$.
Условие, что отрицательный корень имеет большую абсолютную величину (например, $x_1 > 0, x_2 < 0$ и $|x_2| > |x_1|$), означает, что сумма корней отрицательна: $x_1 + x_2 < 0$. $x_1 + x_2 = \frac{2(1-t)}{t+1} < 0$. Как мы выяснили в пункте а), это неравенство выполняется при $t \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
Найдем пересечение полученных множеств: $t \in (-1, 3) \cap ((-\infty, -1) \cup (1, \infty))$.
Пересечением является интервал $(1, 3)$.

Ответ: $t \in (1, 3)$.