Страница 265 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

909. a) $(2ab^2c^3)^3;$

в) $(-(-a^2b^{-1})^{-1})^3;$

б) $(3a^4x^5)^2;$

г) $(2(-x^2y^3)^{-1})^{-2}.$

а) Для того чтобы возвести одночлен в степень, необходимо возвести в эту степень каждый его множитель. При возведении степени в степень их показатели перемножаются.
$(2ab^2c^3)^3 = 2^3 \cdot a^3 \cdot (b^2)^3 \cdot (c^3)^3 = 8 \cdot a^3 \cdot b^{2 \cdot 3} \cdot c^{3 \cdot 3} = 8a^3b^6c^9$.
Ответ: $8a^3b^6c^9$.

б) Решаем аналогично предыдущему примеру, используя правило возведения произведения в степень и правило возведения степени в степень.
$(3a^4x^5)^2 = 3^2 \cdot (a^4)^2 \cdot (x^5)^2 = 9 \cdot a^{4 \cdot 2} \cdot x^{5 \cdot 2} = 9a^8x^{10}$.
Ответ: $9a^8x^{10}$.

в) Упростим выражение последовательно, начиная с самых внутренних скобок. Используем свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.
Сначала упростим выражение внутри самых внешних скобок: $-(-a^2b^{-1})^{-1}$.
Выражение $(-a^2b^{-1})^{-1}$ равно $-(a^2)^{-1}(b^{-1})^{-1} = -a^{-2}b$.
Подставим обратно: $-(-a^{-2}b) = a^{-2}b$.
Теперь возведем результат в куб: $(a^{-2}b)^3 = (a^{-2})^3 \cdot b^3 = a^{-6}b^3 = \frac{b^3}{a^6}$.
Ответ: $\frac{b^3}{a^6}$.

г) Упростим выражение пошагово, начиная с внутренних скобок.
Сначала рассмотрим выражение $(-x^2y^3)^{-1}$. Применяя свойство отрицательной степени, получаем:
$(-x^2y^3)^{-1} = \frac{1}{-x^2y^3} = -\frac{1}{x^2y^3}$.
Теперь подставим это в исходное выражение: $(2 \cdot (-\frac{1}{x^2y^3}))^{-2} = (-\frac{2}{x^2y^3})^{-2}$.
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и изменить знак степени на положительный:
$(-\frac{2}{x^2y^3})^{-2} = (-\frac{x^2y^3}{2})^2 = \frac{(-1)^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^3)^2}{2^2} = \frac{1 \cdot x^{2 \cdot 2} \cdot y^{3 \cdot 2}}{4} = \frac{x^4y^6}{4}$.
Ответ: $\frac{x^4y^6}{4}$.

910. Приведите многочлен к стандартному виду:

a) $4x^3 - 2xx^2 - xx^2 + 5x^2 - 5xx + 1;$

б) $3xx^3 - 4x^2x^2 + x^5 - 3xx^2 + 4x - 1.$

а) Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно выполнить два шага: во-первых, привести каждый член многочлена к стандартному виду (то есть записать его в виде произведения числового коэффициента и переменных в степенях), и, во-вторых, сложить подобные члены (члены с одинаковой буквенной частью) и расположить их в порядке убывания степеней.

Дан многочлен: $4x^3 - 2xx^2 - xx^2 + 5x^2 - 5xx + 1$.

1. Приведем каждый член к стандартному виду, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

• Член $-2xx^2$ упрощается до $-2x^{1+1+2} = -2x^4$.
• Член $-xx^2$ упрощается до $-x^{1+1+2} = -x^4$.
• Член $-5xx$ упрощается до $-5x^{1+1} = -5x^2$.

После упрощения отдельных членов многочлен принимает вид: $4x^3 - 2x^4 - x^4 + 5x^2 - 5x^2 + 1$.

2. Теперь сгруппируем и сложим подобные члены:

• Для $x^4$: $-2x^4 - x^4 = (-2 - 1)x^4 = -3x^4$.
• Для $x^3$: член $4x^3$ единственный.
• Для $x^2$: $5x^2 - 5x^2 = (5-5)x^2 = 0x^2 = 0$.
• Свободный член (константа): $1$.

Собрав все упрощенные части, получаем: $-3x^4 + 4x^3 + 0 + 1$.

3. Запишем многочлен в стандартном виде, располагая члены по убыванию степеней переменной $x$: $-3x^4 + 4x^3 + 1$.

Ответ: $-3x^4 + 4x^3 + 1$.

б) Решим вторую часть задачи аналогичным образом.

Дан многочлен: $3xx^3 - 4x^2x^2 + x^5 - 3xx^2 + 4x - 1$.

1. Приведем каждый член к стандартному виду:

• Член $3xx^3$ упрощается до $3x^{1+3} = 3x^4$.
• Член $-4x^2x^2$ упрощается до $-4x^{2+2} = -4x^4$.
• Член $-3xx^2$ упрощается до $-3x^{1+2} = -3x^3$.

После упрощения многочлен выглядит так: $3x^4 - 4x^4 + x^5 - 3x^3 + 4x - 1$.

2. Сгруппируем и сложим подобные члены:

• Член $x^5$ единственный.
• Для $x^4$: $3x^4 - 4x^4 = (3-4)x^4 = -1x^4 = -x^4$.
• Член $-3x^3$ единственный.
• Член $4x$ единственный.
• Свободный член: $-1$.

3. Теперь запишем итоговый многочлен, расположив члены в порядке убывания их степеней (от большей к меньшей): $x^5 - x^4 - 3x^3 + 4x - 1$.

Ответ: $x^5 - x^4 - 3x^3 + 4x - 1$.

Упростите выражение (911–912):

911. a) $(x - 1)(x + 2)$;

б) $(x + 3)(x - 4)$;

в) $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$;

г) $(x + 3)(x - 2)(x + 1)$.

а)

Чтобы упростить выражение $(x - 1)(x + 2)$, нужно раскрыть скобки, перемножив каждый член первого двучлена на каждый член второго двучлена. Этот метод также известен как FOIL (First, Outer, Inner, Last).
$(x - 1)(x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 - 1 \cdot x - 1 \cdot 2$
Выполним умножение:
$x^2 + 2x - x - 2$
Теперь приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $x$ в одинаковой степени):
$x^2 + (2 - 1)x - 2 = x^2 + x - 2$
Ответ: $x^2 + x - 2$

б)

Раскроем скобки в выражении $(x + 3)(x - 4)$, используя правило умножения многочленов:
$(x + 3)(x - 4) = x \cdot x + x \cdot (-4) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-4)$
Выполним умножение:
$x^2 - 4x + 3x - 12$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + (-4 + 3)x - 12 = x^2 - x - 12$
Ответ: $x^2 - x - 12$

в)

Чтобы упростить выражение $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$, будем перемножать скобки последовательно. Сначала перемножим первые две скобки:
$(x - 1)(x - 2) = x \cdot x + x \cdot (-2) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$
Теперь умножим полученный многочлен на третий двучлен $(x - 3)$:
$(x^2 - 3x + 2)(x - 3) = x^2(x - 3) - 3x(x - 3) + 2(x - 3)$
Раскроем скобки:
$x^3 - 3x^2 - 3x^2 + 9x + 2x - 6$
Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (-3 - 3)x^2 + (9 + 2)x - 6 = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$
Ответ: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

г)

Упростим выражение $(x + 3)(x - 2)(x + 1)$ путем последовательного перемножения. Сначала перемножим первые две скобки:
$(x + 3)(x - 2) = x \cdot x + x \cdot (-2) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6$
Теперь умножим полученный результат на третий двучлен $(x + 1)$:
$(x^2 + x - 6)(x + 1) = x^2(x + 1) + x(x + 1) - 6(x + 1)$
Раскроем скобки:
$x^3 + x^2 + x^2 + x - 6x - 6$
Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (1 + 1)x^2 + (1 - 6)x - 6 = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$
Ответ: $x^3 + 2x^2 - 5x - 6$

912. a) $(x - 1)(x + 1)$;

в) $(3x - 2)(3x + 2)$;

д) $(x - 4)^2$;

ж) $(x - 2)^3$;

и) $x^3 + (x - 1)^3$;

б) $(x + 3)(x - 3)$;

г) $(2x + 3)(2x - 3)$;

е) $(2x + 1)^2$;

з) $(x + 3)^3$;

к) $x^3 - (x + 1)^3$.

а)

Для решения этого примера используем формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = x$ и $b = 1$.

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.

Ответ: $x^2 - 1$.

б)

Здесь также применяется формула разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. В этом выражении $a = x$ и $b = 3$.

$(x + 3)(x - 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.

Ответ: $x^2 - 9$.

в)

Применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = 3x$ и $b = 2$.

$(3x - 2)(3x + 2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4$.

Ответ: $9x^2 - 4$.

г)

Используем формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a = 2x$ и $b = 3$.

$(2x + 3)(2x - 3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$.

Ответ: $4x^2 - 9$.

д)

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой "квадрат разности": $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a = x$ и $b = 4$.

$(x - 4)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$.

Ответ: $x^2 - 8x + 16$.

е)

Применим формулу "квадрат суммы": $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 2x$ и $b = 1$.

$(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$.

Ответ: $4x^2 + 4x + 1$.

ж)

Используем формулу "куб разности": $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. В данном примере $a = x$ и $b = 2$.

$(x - 2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.

Ответ: $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.

з)

Применим формулу "куб суммы": $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Здесь $a = x$ и $b = 3$.

$(x + 3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$.

Ответ: $x^3 + 9x^2 + 27x + 27$.

и)

Сначала раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$, где $a = x$ и $b = 1$.

$(x - 1)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.

Теперь подставим это выражение в исходное и приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = x^3 + x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 2x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.

Ответ: $2x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.

к)

Сначала раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, где $a = x$ и $b = 1$.

$(x + 1)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$.

Теперь подставим это выражение в исходное. Так как перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобки меняются на противоположные:

$x^3 - (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = x^3 - x^3 - 3x^2 - 3x - 1$.

Приведем подобные слагаемые:

$-3x^2 - 3x - 1$.

Ответ: $-3x^2 - 3x - 1$.

Разложите на множители (913–916):

913. а) $2x(x - 9) - x(x - 1);$

б) $3x(x + 1) + 2x(x + 10);$

в) $(x - 2)(2x + 3) - (x - 2)(x + 1);$

г) $(x + 1)(3x - 4) - (x + 2)(x + 1);$

д) $(x - 2)^2 + 3(x - 2);$

е) $(x + 1)^2 - 2(x + 1);$

ж) $(2x - 3)^2 - (x - 1)^2;$

з) $(2x + 1)^2 - (x - 2)^2.$

а) В выражении $2x(x - 9) - x(x - 1)$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(2(x - 9) - (x - 1))$
Теперь упростим выражение во вторых скобках, раскрыв внутренние скобки:
$x(2x - 18 - x + 1)$
Приведем подобные слагаемые внутри скобок:
$x(x - 17)$
Ответ: $x(x - 17)$.

б) В выражении $3x(x + 1) + 2x(x + 10)$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(3(x + 1) + 2(x + 10))$
Раскроем внутренние скобки и упростим выражение:
$x(3x + 3 + 2x + 20)$
Приведем подобные слагаемые:
$x(5x + 23)$
Ответ: $x(5x + 23)$.

в) В выражении $(x - 2)(2x + 3) - (x - 2)(x + 1)$ общим множителем является скобка $(x - 2)$. Вынесем ее за скобки:
$(x - 2)((2x + 3) - (x + 1))$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x - 2)(2x + 3 - x - 1)$
Приведем подобные слагаемые:
$(x - 2)(x + 2)$
Ответ: $(x - 2)(x + 2)$.

г) В выражении $(x + 1)(3x - 4) - (x + 2)(x + 1)$ общим множителем является скобка $(x + 1)$. Вынесем ее за скобки:
$(x + 1)((3x - 4) - (x + 2))$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x + 1)(3x - 4 - x - 2)$
Приведем подобные слагаемые:
$(x + 1)(2x - 6)$
Во второй скобке можно вынести за скобку общий множитель 2:
$(x + 1) \cdot 2(x - 3) = 2(x + 1)(x - 3)$
Ответ: $2(x + 1)(x - 3)$.

д) В выражении $(x - 2)^2 + 3(x - 2)$ общим множителем является скобка $(x - 2)$. Вынесем ее за скобки:
$(x - 2)((x - 2) + 3)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x - 2)(x - 2 + 3)$
$(x - 2)(x + 1)$
Ответ: $(x - 2)(x + 1)$.

е) В выражении $(x + 1)^2 - 2(x + 1)$ общим множителем является скобка $(x + 1)$. Вынесем ее за скобки:
$(x + 1)((x + 1) - 2)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x + 1)(x + 1 - 2)$
$(x + 1)(x - 1)$
Ответ: $(x + 1)(x - 1)$.

ж) Выражение $(2x - 3)^2 - (x - 1)^2$ представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 2x - 3$ и $b = x - 1$:
$((2x - 3) - (x - 1))((2x - 3) + (x - 1))$
Упростим выражения в каждой из скобок:
$(2x - 3 - x + 1)(2x - 3 + x - 1)$
$(x - 2)(3x - 4)$
Ответ: $(x - 2)(3x - 4)$.

з) Выражение $(2x + 1)^2 - (x - 2)^2$ также является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 2x + 1$ и $b = x - 2$:
$((2x + 1) - (x - 2))((2x + 1) + (x - 2))$
Упростим выражения в каждой из скобок:
$(2x + 1 - x + 2)(2x + 1 + x - 2)$
$(x + 3)(3x - 1)$
Ответ: $(x + 3)(3x - 1)$.

914. а) $x^2 - 4x + 4;$

в) $x^2 - 5x + 6;$

д) $x^4 - x^2 - 2x - 1;$

б) $x^2 - 4x + 5;$

г) $x^2 - x - 6;$

е) $x^4 - x^2 + 6x - 9.$

а) $x^2 - 4x + 4$

Данный трехчлен является полным квадратом. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a^2 = x^2$, значит $a = x$.

$b^2 = 4$, значит $b = 2$.

Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$.

Таким образом, выражение $x^2 - 4x + 4$ полностью соответствует формуле $(x-2)^2$.

Ответ: $(x-2)^2$.

б) $x^2 - 4x + 5$

Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $ax^2+bx+c$, нужно найти его корни. Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ - дискриминант.

Найдем дискриминант для $x^2 - 4x + 5$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Так как дискриминант $D < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней. Следовательно, его нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

Другой способ - метод выделения полного квадрата:

$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x-2)^2 + 1$.

Выражение $(x-2)^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю), поэтому $(x-2)^2 + 1$ всегда больше или равно 1. Оно никогда не равно нулю, что подтверждает отсутствие действительных корней.

Ответ: На множители с действительными коэффициентами не раскладывается.

в) $x^2 - 5x + 6$

Для разложения на множители этого квадратного трехчлена найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Методом подбора находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Тогда разложение на множители имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$. Так как $a=1$, получаем:

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Ответ: $(x - 2)(x - 3)$.

г) $x^2 - x - 6$

Найдем корни квадратного трехчлена. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Разложение на множители:

$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x - (-2)) = (x - 3)(x + 2)$.

Ответ: $(x - 3)(x + 2)$.

д) $x^4 - x^2 - 2x - 1$

Сгруппируем последние три члена и вынесем минус за скобки:

$x^4 - (x^2 + 2x + 1)$.

Выражение в скобках является полным квадратом: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$x^4 - (x+1)^2 = (x^2)^2 - (x+1)^2$.

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^2$ и $b = x+1$.

$(x^2 - (x+1))(x^2 + (x+1)) = (x^2 - x - 1)(x^2 + x + 1)$.

Полученные квадратные трехчлены $x^2 - x - 1$ и $x^2 + x + 1$ не имеют рациональных корней и являются неприводимыми над полем рациональных чисел.

Ответ: $(x^2 - x - 1)(x^2 + x + 1)$.

е) $x^4 - x^2 + 6x - 9$

Сгруппируем последние три члена и вынесем минус за скобки:

$x^4 - (x^2 - 6x + 9)$.

Выражение в скобках является полным квадратом: $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$x^4 - (x-3)^2 = (x^2)^2 - (x-3)^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^2$ и $b = x-3$.

$(x^2 - (x-3))(x^2 + (x-3)) = (x^2 - x + 3)(x^2 + x - 3)$.

Полученные квадратные трехчлены $x^2 - x + 3$ и $x^2 + x - 3$ не имеют рациональных корней.

Ответ: $(x^2 - x + 3)(x^2 + x - 3)$.

915. a) $x^2 + a^2x + \frac{1}{4}(a^4 - b^4)$;

б) $4x^2 - 12bx - 4a^2 + 9b^2$;

в) $4x^2 - 3ax + \frac{1}{4}(2a^2 - ab - b^2)$;

г) $8x^2 - \frac{2a}{b}(1 - 2b)x - \frac{a^2}{b}$;

д) $x^2 - \frac{a^2 + b^2}{ab}x + 1$;

е) $x^2 + \frac{a^2 + b^2}{ab}x + 1$.

a) $x^2 + a^2x + \frac{1}{4}(a^4 - b^4) = 0$

Данное выражение является квадратным уравнением относительно $x$ вида $Ax^2 + Bx + C = 0$, где:
$A = 1$
$B = a^2$
$C = \frac{1}{4}(a^4 - b^4)$
Для решения найдем дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:
$D = (a^2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4}(a^4 - b^4) = a^4 - (a^4 - b^4) = a^4 - a^4 + b^4 = b^4$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{b^4} = b^2$.
Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$x_{1,2} = \frac{-a^2 \pm b^2}{2 \cdot 1} = \frac{-a^2 \pm b^2}{2}$.
Таким образом, получаем два корня:
$x_1 = \frac{-a^2 + b^2}{2} = \frac{b^2 - a^2}{2}$
$x_2 = \frac{-a^2 - b^2}{2} = -\frac{a^2 + b^2}{2}$

Ответ: $x_1 = \frac{b^2 - a^2}{2}$, $x_2 = -\frac{a^2 + b^2}{2}$.

б) $4x^2 - 12bx - 4a^2 + 9b^2 = 0$

Перегруппируем слагаемые для выделения полного квадрата:
$(4x^2 - 12bx + 9b^2) - 4a^2 = 0$
Выражение в скобках является полным квадратом разности: $(2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot (3b) + (3b)^2 = (2x - 3b)^2$.
Подставим это в уравнение:
$(2x - 3b)^2 - (2a)^2 = 0$
Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:
$((2x - 3b) - 2a)((2x - 3b) + 2a) = 0$
$(2x - 3b - 2a)(2x - 3b + 2a) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:
1) $2x - 3b - 2a = 0 \Rightarrow 2x = 3b + 2a \Rightarrow x_1 = \frac{2a + 3b}{2}$
2) $2x - 3b + 2a = 0 \Rightarrow 2x = 3b - 2a \Rightarrow x_2 = \frac{3b - 2a}{2}$

Ответ: $x_1 = \frac{2a + 3b}{2}$, $x_2 = \frac{3b - 2a}{2}$.

в) $4x^2 - 3ax + \frac{1}{4}(2a^2 - ab - b^2) = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами:
$A = 4$
$B = -3a$
$C = \frac{1}{4}(2a^2 - ab - b^2)$
Найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$:
$D = (-3a)^2 - 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{4}(2a^2 - ab - b^2) = 9a^2 - 4(2a^2 - ab - b^2)$
$D = 9a^2 - 8a^2 + 4ab + 4b^2 = a^2 + 4ab + 4b^2 = (a + 2b)^2$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{(a + 2b)^2} = a + 2b$.
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-3a) \pm (a + 2b)}{2 \cdot 4} = \frac{3a \pm (a + 2b)}{8}$.
Вычислим два корня:
$x_1 = \frac{3a + (a + 2b)}{8} = \frac{4a + 2b}{8} = \frac{2(2a + b)}{8} = \frac{2a + b}{4}$
$x_2 = \frac{3a - (a + 2b)}{8} = \frac{3a - a - 2b}{8} = \frac{2a - 2b}{8} = \frac{2(a - b)}{8} = \frac{a - b}{4}$

Ответ: $x_1 = \frac{2a + b}{4}$, $x_2 = \frac{a - b}{4}$.

г) $8x^2 - \frac{2a}{b}(1 - 2b)x - \frac{a^2}{b} = 0$

Предполагая, что $b \neq 0$, умножим обе части уравнения на $b$:
$8bx^2 - 2a(1 - 2b)x - a^2 = 0$
$8bx^2 - (2a - 4ab)x - a^2 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами: $A = 8b$, $B = 4ab - 2a$, $C = -a^2$.
Найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$:
$D = (4ab - 2a)^2 - 4(8b)(-a^2) = (2a(2b - 1))^2 + 32a^2b$
$D = 4a^2(4b^2 - 4b + 1) + 32a^2b = 16a^2b^2 - 16a^2b + 4a^2 + 32a^2b$
$D = 16a^2b^2 + 16a^2b + 4a^2 = 4a^2(4b^2 + 4b + 1) = 4a^2(2b + 1)^2 = (2a(2b + 1))^2$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$x_{1,2} = \frac{-(4ab - 2a) \pm \sqrt{(2a(2b + 1))^2}}{2 \cdot 8b} = \frac{2a - 4ab \pm 2a(2b + 1)}{16b}$.
Вычислим два корня:
$x_1 = \frac{2a - 4ab + 2a(2b + 1)}{16b} = \frac{2a - 4ab + 4ab + 2a}{16b} = \frac{4a}{16b} = \frac{a}{4b}$
$x_2 = \frac{2a - 4ab - 2a(2b + 1)}{16b} = \frac{2a - 4ab - 4ab - 2a}{16b} = \frac{-8ab}{16b} = -\frac{a}{2}$

Ответ: $x_1 = \frac{a}{4b}$, $x_2 = -\frac{a}{2}$ (при $b \neq 0$).

д) $x^2 - \frac{a^2 + b^2}{ab}x + 1 = 0$

Уравнение имеет смысл при $a \neq 0$ и $b \neq 0$.
Преобразуем коэффициент при $x$: $\frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$.
Уравнение принимает вид: $x^2 - (\frac{a}{b} + \frac{b}{a})x + 1 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение. Согласно теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2$ равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, а их произведение $x_1x_2$ равно свободному члену.
$x_1 + x_2 = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$
$x_1x_2 = 1$
Из этих соотношений очевидно, что корнями являются $x_1 = \frac{a}{b}$ и $x_2 = \frac{b}{a}$.

Ответ: $x_1 = \frac{a}{b}$, $x_2 = \frac{b}{a}$ (при $a \neq 0, b \neq 0$).

е) $x^2 + \frac{a^2 + b^2}{ab}x + 1 = 0$

Уравнение имеет смысл при $a \neq 0$ и $b \neq 0$.
Преобразуем коэффициент при $x$: $\frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$.
Уравнение принимает вид: $x^2 + (\frac{a}{b} + \frac{b}{a})x + 1 = 0$.
По теореме Виета для корней $x_1$ и $x_2$ должны выполняться условия:
$x_1 + x_2 = -(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})$
$x_1x_2 = 1$
Легко видеть, что этими корнями являются $x_1 = -\frac{a}{b}$ и $x_2 = -\frac{b}{a}$.
Проверка:
Сумма: $(-\frac{a}{b}) + (-\frac{b}{a}) = -(\frac{a^2+b^2}{ab}) = -(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})$.
Произведение: $(-\frac{a}{b}) \cdot (-\frac{b}{a}) = 1$.
Оба условия выполняются.

Ответ: $x_1 = -\frac{a}{b}$, $x_2 = -\frac{b}{a}$ (при $a \neq 0, b \neq 0$).

916. а) $x^4 + 1;$

б) $x^3 - 7x - 6.$

а) Чтобы разложить на множители выражение $x^4 + 1$, воспользуемся методом выделения полного квадрата. Этот метод заключается в добавлении и вычитании одного и того же слагаемого с целью получить формулу сокращенного умножения.

1. Исходное выражение: $x^4 + 1$.

2. Чтобы получить полный квадрат $(x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$, нам не хватает слагаемого $2x^2$. Добавим и вычтем его, чтобы не изменить значение выражения:

$x^4 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2$

3. Теперь сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат:

$(x^4 + 2x^2 + 1) - 2x^2 = (x^2 + 1)^2 - 2x^2$

4. Полученное выражение представляет собой разность квадратов вида $a^2 - b^2$, где $a = x^2 + 1$ и $b = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$.

5. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x^2 + 1)^2 - (x\sqrt{2})^2 = (x^2 + 1 - x\sqrt{2})(x^2 + 1 + x\sqrt{2})$

6. Запишем многочлены в стандартном виде (в порядке убывания степеней $x$):

$(x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)$

Полученные квадратные трехчлены не имеют действительных корней, так как их дискриминанты отрицательны. Следовательно, это окончательное разложение на множители с действительными коэффициентами.

Ответ: $(x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)$

б) Чтобы разложить на множители многочлен $x^3 - 7x - 6$, найдем его целые корни, если они существуют. Согласно следствию из теоремы Безу (или теореме о рациональных корнях), целые корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями его свободного члена.

1. Свободный член равен -6. Его целые делители: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

2. Проверим эти значения, подставляя их в многочлен $P(x) = x^3 - 7x - 6$ до тех пор, пока не найдем корень:

$P(1) = 1^3 - 7(1) - 6 = 1 - 7 - 6 = -12 \neq 0$

$P(-1) = (-1)^3 - 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем, а двучлен $(x - (-1)) = (x+1)$ — одним из множителей.

3. Теперь, зная один из множителей, разложим многочлен на множители методом группировки. Для этого представим некоторые его члены в виде суммы или разности так, чтобы из каждой группы можно было выделить множитель $(x+1)$.

$x^3 - 7x - 6 = x^3 \underline{+ x^2 - x^2} \underline{- x} - 6x - 6$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 + x^2) - (x^2 + x) - (6x + 6)$

4. Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x+1) - x(x+1) - 6(x+1)$

5. Теперь вынесем общий для всех слагаемых множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x+1)(x^2 - x - 6)$

6. Осталось разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 - x - 6$. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение равно $-6$. Этим условиям удовлетворяют числа $3$ и $-2$.

Следовательно, $x^2 - x - 6 = (x-3)(x - (-2)) = (x-3)(x+2)$.

7. Окончательно получаем разложение исходного многочлена:

$x^3 - 7x - 6 = (x+1)(x+2)(x-3)$

Ответ: $(x+1)(x+2)(x-3)$

917. Запишите многочлен, корнями которого являются числа:

а) 1; 2; 3; 4;

б) -2; -1; 0; 6.

а)

Чтобы записать многочлен, зная его корни, можно использовать его разложение на линейные множители. Если числа $x_1, x_2, \dots, x_n$ являются корнями многочлена $P(x)$, то этот многочлен можно представить в виде $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\dots(x - x_n)$, где $a$ — любой ненулевой коэффициент. Для простоты выберем $a=1$.

Заданные корни: $1; 2; 3; 4$.

Составляем многочлен $P(x)$ как произведение множителей: $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$.

Теперь необходимо раскрыть скобки, чтобы получить многочлен в стандартном виде. Сгруппируем и перемножим множители попарно:

$(x - 1)(x - 2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$

$(x - 3)(x - 4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$

Теперь перемножим полученные квадратные трехчлены:

$P(x) = (x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) = $
$= x^2(x^2 - 7x + 12) - 3x(x^2 - 7x + 12) + 2(x^2 - 7x + 12) = $
$= (x^4 - 7x^3 + 12x^2) - (3x^3 - 21x^2 + 36x) + (2x^2 - 14x + 24) = $
$= x^4 - 7x^3 + 12x^2 - 3x^3 + 21x^2 - 36x + 2x^2 - 14x + 24$

Приведем подобные члены:

$P(x) = x^4 + (-7 - 3)x^3 + (12 + 21 + 2)x^2 + (-36 - 14)x + 24 = $
$= x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

Ответ: $x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

б)

Заданные корни: $-2; -1; 0; 6$.

Аналогично предыдущему пункту, составим многочлен $P(x)$, взяв $a=1$: $P(x) = (x - (-2))(x - (-1))(x - 0)(x - 6) = (x + 2)(x + 1)x(x - 6)$.

Раскроем скобки. Удобно сначала перемножить выражения в скобках, а затем умножить все на $x$:

$(x + 2)(x + 1) = x^2 + x + 2x + 2 = x^2 + 3x + 2$

Теперь умножим полученный результат на $(x - 6)$:

$(x^2 + 3x + 2)(x - 6) = x(x^2 + 3x + 2) - 6(x^2 + 3x + 2) = $
$= (x^3 + 3x^2 + 2x) - (6x^2 + 18x + 12) = $
$= x^3 + 3x^2 + 2x - 6x^2 - 18x - 12$

Приведем подобные члены:

$= x^3 + (3 - 6)x^2 + (2 - 18)x - 12 = x^3 - 3x^2 - 16x - 12$

Наконец, умножим все на оставшийся множитель $x$:

$P(x) = x(x^3 - 3x^2 - 16x - 12) = x^4 - 3x^3 - 16x^2 - 12x$

Ответ: $x^4 - 3x^3 - 16x^2 - 12x$

918. Представьте многочлен в виде произведения линейных множителей:

а) $x^3 - 6x$;
б) $x - 5x^3$;
в) $3x^2 - 25$;
г) $x^3 - 2$;
д) $2x^2 + 8x - 7$;
е) $3x^2 - 5x + 2$;
ж) $3x^2 - 6x + 12$;
з) $8x^3 + 54x + 36x^2 + 27$.

а) $x^3 - 6x$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x^3 - 6x = x(x^2 - 6)$.
Выражение в скобках $x^2 - 6$ представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=x$ и $b=\sqrt{6}$.
$x^2 - 6 = x^2 - (\sqrt{6})^2 = (x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6})$.
Таким образом, окончательное разложение на линейные множители выглядит так:
$x(x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6})$.
Ответ: $x(x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6})$.

б) $x - 5x^3$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x - 5x^3 = x(1 - 5x^2)$.
Выражение в скобках $1 - 5x^2$ является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=1$ и $b=\sqrt{5}x$.
$1 - 5x^2 = 1^2 - (\sqrt{5}x)^2 = (1 - \sqrt{5}x)(1 + \sqrt{5}x)$.
В итоге получаем произведение линейных множителей:
$x(1 - \sqrt{5}x)(1 + \sqrt{5}x)$.
Ответ: $x(1 - \sqrt{5}x)(1 + \sqrt{5}x)$.

в) $3x^2 - 25$

Данный многочлен является разностью квадратов. Представим его в виде $a^2 - b^2$ и воспользуемся формулой $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$3x^2 - 25 = (\sqrt{3}x)^2 - 5^2$.
Здесь $a=\sqrt{3}x$ и $b=5$.
$(\sqrt{3}x - 5)(\sqrt{3}x + 5)$.
Ответ: $(\sqrt{3}x - 5)(\sqrt{3}x + 5)$.

г) $x^3 - 2$

Этот многочлен представляет собой разность кубов. Воспользуемся формулой $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
В нашем случае $a=x$ и $b=\sqrt[3]{2}$.
$x^3 - 2 = x^3 - (\sqrt[3]{2})^3 = (x - \sqrt[3]{2})(x^2 + x\sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2) = (x - \sqrt[3]{2})(x^2 + \sqrt[3]{2}x + \sqrt[3]{4})$.
Мы получили один линейный множитель $(x - \sqrt[3]{2})$ и один квадратичный $(x^2 + \sqrt[3]{2}x + \sqrt[3]{4})$. Чтобы разложить квадратичный множитель на линейные, нужно найти его корни. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + \sqrt[3]{2}x + \sqrt[3]{4}$:
$D = b^2 - 4ac = (\sqrt[3]{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{4} - 4\sqrt[3]{4} = -3\sqrt[3]{4}$.
Так как дискриминант $D < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней, и он нераскладываем на линейные множители с действительными коэффициентами. Таким образом, в поле действительных чисел представить многочлен $x^3-2$ в виде произведения только линейных множителей невозможно.
Ответ: В поле действительных чисел многочлен не разлагается на произведение только линейных множителей. Его разложение имеет вид $(x - \sqrt[3]{2})(x^2 + \sqrt[3]{2}x + \sqrt[3]{4})$.

д) $2x^2 + 8x - 7$

Для разложения квадратного трехчлена $ax^2+bx+c$ на множители вида $a(x-x_1)(x-x_2)$, найдем его корни с помощью дискриминанта.
$a=2, b=8, c=-7$.
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 64 + 56 = 120$.
Корни уравнения $2x^2 + 8x - 7 = 0$:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{120}}{2 \cdot 2} = \frac{-8 \pm \sqrt{4 \cdot 30}}{4} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{30}}{4} = \frac{-4 \pm \sqrt{30}}{2}$.
Итак, корни $x_1 = \frac{-4 + \sqrt{30}}{2}$ и $x_2 = \frac{-4 - \sqrt{30}}{2}$.
Подставляем корни в формулу разложения:
$2\left(x - \frac{-4 + \sqrt{30}}{2}\right)\left(x - \frac{-4 - \sqrt{30}}{2}\right)$.
Ответ: $2\left(x - \frac{-4 + \sqrt{30}}{2}\right)\left(x - \frac{-4 - \sqrt{30}}{2}\right)$.

е) $3x^2 - 5x + 2$

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 5x + 2$ для его разложения на множители.
$a=3, b=-5, c=2$.
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
Корни уравнения $3x^2 - 5x + 2 = 0$:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$.
$x_1 = \frac{5+1}{6} = 1$, $x_2 = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Разложение имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$3(x-1)(x - \frac{2}{3})$.
Для удобства можно внести множитель 3 во вторую скобку:
$(x-1) \cdot 3(x - \frac{2}{3}) = (x-1)(3x-2)$.
Ответ: $(x-1)(3x-2)$.

ж) $3x^2 - 6x + 12$

Сначала вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3x^2 - 6x + 12 = 3(x^2 - 2x + 4)$.
Теперь рассмотрим квадратный трехчлен в скобках $x^2 - 2x + 4$. Найдем его дискриминант, чтобы проверить, можно ли его разложить на линейные множители.
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.
Так как дискриминант $D < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней. Следовательно, его нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами. Это означает, что исходный многочлен нельзя представить в виде произведения только линейных множителей в поле действительных чисел.
Ответ: В поле действительных чисел многочлен не разлагается на произведение только линейных множителей. Его разложение имеет вид $3(x^2 - 2x + 4)$.

з) $8x^3 + 54x + 36x^2 + 27$

Переставим члены многочлена в порядке убывания степеней $x$:
$8x^3 + 36x^2 + 54x + 27$.
Этот многочлен похож на формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Проверим, подходит ли она. Пусть $a^3 = 8x^3$, тогда $a=2x$. Пусть $b^3 = 27$, тогда $b=3$.
Проверим средние члены:
$3a^2b = 3(2x)^2(3) = 3 \cdot 4x^2 \cdot 3 = 36x^2$. Совпадает.
$3ab^2 = 3(2x)(3^2) = 3 \cdot 2x \cdot 9 = 54x$. Совпадает.
Следовательно, многочлен является полным кубом суммы:
$8x^3 + 36x^2 + 54x + 27 = (2x+3)^3$.
Это произведение трех одинаковых линейных множителей.
Ответ: $(2x+3)^3$.

919. Разложите многочлен на линейные множители, считая, что

a и b — данные числа:

а) $x^2 - (1 + a)x + a;$

б) $4x^2 - 2(1 + a)x + a;$

в) $2ax^2 - (2 + a)x + 1;$

г) $6 + (2 - 3a)x - ax^2;$

д) $(b - 2a)x + 2 - abx^2;$

е) $b - (a + b^2)x + abx^2.$

а)

Для разложения многочлена $x^2 - (1 + a)x + a$ на линейные множители, раскроем скобки и применим метод группировки.

$x^2 - (1 + a)x + a = x^2 - x - ax + a$

Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - x) - (ax - a)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $x(x - 1) - a(x - 1)$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x - 1)$: $(x - 1)(x - a)$.

Ответ: $(x - 1)(x - a)$.

б)

Разложим многочлен $4x^2 - 2(1 + a)x + a$ на линейные множители.

Раскроем скобки: $4x^2 - 2x - 2ax + a$.

Сгруппируем слагаемые: $(4x^2 - 2x) - (2ax - a)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $2x(2x - 1) - a(2x - 1)$.

Вынесем за скобки общий множитель $(2x - 1)$: $(2x - 1)(2x - a)$.

Ответ: $(2x - 1)(2x - a)$.

в)

Разложим многочлен $2ax^2 - (2 + a)x + 1$ на линейные множители.

Раскроем скобки: $2ax^2 - 2x - ax + 1$.

Сгруппируем слагаемые: $(2ax^2 - 2x) - (ax - 1)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $2x(ax - 1) - 1(ax - 1)$.

Вынесем за скобки общий множитель $(ax - 1)$: $(2x - 1)(ax - 1)$.

Ответ: $(2x - 1)(ax - 1)$.

г)

Для разложения многочлена $6 + (2 - 3a)x - ax^2$ на линейные множители, сначала упорядочим его по убыванию степеней $x$ и применим метод группировки.

$-ax^2 + (2 - 3a)x + 6 = -ax^2 + 2x - 3ax + 6$.

Сгруппируем слагаемые: $(-ax^2 + 2x) + (-3ax + 6)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $x(-ax + 2) + 3(-ax + 2)$.

Вынесем за скобки общий множитель $(-ax + 2)$: $(x + 3)(-ax + 2)$.

Запишем второй множитель в более привычном виде: $(x + 3)(2 - ax)$.

Ответ: $(x + 3)(2 - ax)$.

д)

Разложим многочлен $(b - 2a)x + 2 - abx^2$ на линейные множители. Упорядочим его по убыванию степеней $x$.

$-abx^2 + (b - 2a)x + 2 = -abx^2 + bx - 2ax + 2$.

Сгруппируем слагаемые: $(-abx^2 + bx) + (-2ax + 2)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $bx(-ax + 1) + 2(-ax + 1)$.

Вынесем за скобки общий множитель $(-ax + 1)$: $(bx + 2)(-ax + 1)$.

Запишем второй множитель в виде $(1 - ax)$: $(bx + 2)(1 - ax)$.

Ответ: $(bx + 2)(1 - ax)$.

е)

Разложим многочлен $b - (a + b^2)x + abx^2$ на линейные множители. Упорядочим его по убыванию степеней $x$.

$abx^2 - (a + b^2)x + b = abx^2 - ax - b^2x + b$.

Сгруппируем слагаемые: $(abx^2 - ax) - (b^2x - b)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $ax(bx - 1) - b(bx - 1)$.

Вынесем за скобки общий множитель $(bx - 1)$: $(ax - b)(bx - 1)$.

Ответ: $(ax - b)(bx - 1)$.