Номер 919, страница 265 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

919. Разложите многочлен на линейные множители, считая, что

a и b — данные числа:

а) $x^2 - (1 + a)x + a;$

б) $4x^2 - 2(1 + a)x + a;$

в) $2ax^2 - (2 + a)x + 1;$

г) $6 + (2 - 3a)x - ax^2;$

д) $(b - 2a)x + 2 - abx^2;$

е) $b - (a + b^2)x + abx^2.$

а)

Для разложения многочлена $x^2 - (1 + a)x + a$ на линейные множители, раскроем скобки и применим метод группировки.

$x^2 - (1 + a)x + a = x^2 - x - ax + a$

Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - x) - (ax - a)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $x(x - 1) - a(x - 1)$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x - 1)$: $(x - 1)(x - a)$.

Ответ: $(x - 1)(x - a)$.

б)

Разложим многочлен $4x^2 - 2(1 + a)x + a$ на линейные множители.

Раскроем скобки: $4x^2 - 2x - 2ax + a$.

Сгруппируем слагаемые: $(4x^2 - 2x) - (2ax - a)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $2x(2x - 1) - a(2x - 1)$.

Вынесем за скобки общий множитель $(2x - 1)$: $(2x - 1)(2x - a)$.

Ответ: $(2x - 1)(2x - a)$.

в)

Разложим многочлен $2ax^2 - (2 + a)x + 1$ на линейные множители.

Раскроем скобки: $2ax^2 - 2x - ax + 1$.

Сгруппируем слагаемые: $(2ax^2 - 2x) - (ax - 1)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $2x(ax - 1) - 1(ax - 1)$.

Вынесем за скобки общий множитель $(ax - 1)$: $(2x - 1)(ax - 1)$.

Ответ: $(2x - 1)(ax - 1)$.

г)

Для разложения многочлена $6 + (2 - 3a)x - ax^2$ на линейные множители, сначала упорядочим его по убыванию степеней $x$ и применим метод группировки.

$-ax^2 + (2 - 3a)x + 6 = -ax^2 + 2x - 3ax + 6$.

Сгруппируем слагаемые: $(-ax^2 + 2x) + (-3ax + 6)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $x(-ax + 2) + 3(-ax + 2)$.

Вынесем за скобки общий множитель $(-ax + 2)$: $(x + 3)(-ax + 2)$.

Запишем второй множитель в более привычном виде: $(x + 3)(2 - ax)$.

Ответ: $(x + 3)(2 - ax)$.

д)

Разложим многочлен $(b - 2a)x + 2 - abx^2$ на линейные множители. Упорядочим его по убыванию степеней $x$.

$-abx^2 + (b - 2a)x + 2 = -abx^2 + bx - 2ax + 2$.

Сгруппируем слагаемые: $(-abx^2 + bx) + (-2ax + 2)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $bx(-ax + 1) + 2(-ax + 1)$.

Вынесем за скобки общий множитель $(-ax + 1)$: $(bx + 2)(-ax + 1)$.

Запишем второй множитель в виде $(1 - ax)$: $(bx + 2)(1 - ax)$.

Ответ: $(bx + 2)(1 - ax)$.

е)

Разложим многочлен $b - (a + b^2)x + abx^2$ на линейные множители. Упорядочим его по убыванию степеней $x$.

$abx^2 - (a + b^2)x + b = abx^2 - ax - b^2x + b$.

Сгруппируем слагаемые: $(abx^2 - ax) - (b^2x - b)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $ax(bx - 1) - b(bx - 1)$.

Вынесем за скобки общий множитель $(bx - 1)$: $(ax - b)(bx - 1)$.

Ответ: $(ax - b)(bx - 1)$.