Номер 915, страница 265 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

915. a) $x^2 + a^2x + \frac{1}{4}(a^4 - b^4)$;

б) $4x^2 - 12bx - 4a^2 + 9b^2$;

в) $4x^2 - 3ax + \frac{1}{4}(2a^2 - ab - b^2)$;

г) $8x^2 - \frac{2a}{b}(1 - 2b)x - \frac{a^2}{b}$;

д) $x^2 - \frac{a^2 + b^2}{ab}x + 1$;

е) $x^2 + \frac{a^2 + b^2}{ab}x + 1$.

a) $x^2 + a^2x + \frac{1}{4}(a^4 - b^4) = 0$

Данное выражение является квадратным уравнением относительно $x$ вида $Ax^2 + Bx + C = 0$, где:
$A = 1$
$B = a^2$
$C = \frac{1}{4}(a^4 - b^4)$
Для решения найдем дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:
$D = (a^2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4}(a^4 - b^4) = a^4 - (a^4 - b^4) = a^4 - a^4 + b^4 = b^4$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{b^4} = b^2$.
Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$x_{1,2} = \frac{-a^2 \pm b^2}{2 \cdot 1} = \frac{-a^2 \pm b^2}{2}$.
Таким образом, получаем два корня:
$x_1 = \frac{-a^2 + b^2}{2} = \frac{b^2 - a^2}{2}$
$x_2 = \frac{-a^2 - b^2}{2} = -\frac{a^2 + b^2}{2}$

Ответ: $x_1 = \frac{b^2 - a^2}{2}$, $x_2 = -\frac{a^2 + b^2}{2}$.

б) $4x^2 - 12bx - 4a^2 + 9b^2 = 0$

Перегруппируем слагаемые для выделения полного квадрата:
$(4x^2 - 12bx + 9b^2) - 4a^2 = 0$
Выражение в скобках является полным квадратом разности: $(2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot (3b) + (3b)^2 = (2x - 3b)^2$.
Подставим это в уравнение:
$(2x - 3b)^2 - (2a)^2 = 0$
Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:
$((2x - 3b) - 2a)((2x - 3b) + 2a) = 0$
$(2x - 3b - 2a)(2x - 3b + 2a) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:
1) $2x - 3b - 2a = 0 \Rightarrow 2x = 3b + 2a \Rightarrow x_1 = \frac{2a + 3b}{2}$
2) $2x - 3b + 2a = 0 \Rightarrow 2x = 3b - 2a \Rightarrow x_2 = \frac{3b - 2a}{2}$

Ответ: $x_1 = \frac{2a + 3b}{2}$, $x_2 = \frac{3b - 2a}{2}$.

в) $4x^2 - 3ax + \frac{1}{4}(2a^2 - ab - b^2) = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами:
$A = 4$
$B = -3a$
$C = \frac{1}{4}(2a^2 - ab - b^2)$
Найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$:
$D = (-3a)^2 - 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{4}(2a^2 - ab - b^2) = 9a^2 - 4(2a^2 - ab - b^2)$
$D = 9a^2 - 8a^2 + 4ab + 4b^2 = a^2 + 4ab + 4b^2 = (a + 2b)^2$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{(a + 2b)^2} = a + 2b$.
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-3a) \pm (a + 2b)}{2 \cdot 4} = \frac{3a \pm (a + 2b)}{8}$.
Вычислим два корня:
$x_1 = \frac{3a + (a + 2b)}{8} = \frac{4a + 2b}{8} = \frac{2(2a + b)}{8} = \frac{2a + b}{4}$
$x_2 = \frac{3a - (a + 2b)}{8} = \frac{3a - a - 2b}{8} = \frac{2a - 2b}{8} = \frac{2(a - b)}{8} = \frac{a - b}{4}$

Ответ: $x_1 = \frac{2a + b}{4}$, $x_2 = \frac{a - b}{4}$.

г) $8x^2 - \frac{2a}{b}(1 - 2b)x - \frac{a^2}{b} = 0$

Предполагая, что $b \neq 0$, умножим обе части уравнения на $b$:
$8bx^2 - 2a(1 - 2b)x - a^2 = 0$
$8bx^2 - (2a - 4ab)x - a^2 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами: $A = 8b$, $B = 4ab - 2a$, $C = -a^2$.
Найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$:
$D = (4ab - 2a)^2 - 4(8b)(-a^2) = (2a(2b - 1))^2 + 32a^2b$
$D = 4a^2(4b^2 - 4b + 1) + 32a^2b = 16a^2b^2 - 16a^2b + 4a^2 + 32a^2b$
$D = 16a^2b^2 + 16a^2b + 4a^2 = 4a^2(4b^2 + 4b + 1) = 4a^2(2b + 1)^2 = (2a(2b + 1))^2$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$x_{1,2} = \frac{-(4ab - 2a) \pm \sqrt{(2a(2b + 1))^2}}{2 \cdot 8b} = \frac{2a - 4ab \pm 2a(2b + 1)}{16b}$.
Вычислим два корня:
$x_1 = \frac{2a - 4ab + 2a(2b + 1)}{16b} = \frac{2a - 4ab + 4ab + 2a}{16b} = \frac{4a}{16b} = \frac{a}{4b}$
$x_2 = \frac{2a - 4ab - 2a(2b + 1)}{16b} = \frac{2a - 4ab - 4ab - 2a}{16b} = \frac{-8ab}{16b} = -\frac{a}{2}$

Ответ: $x_1 = \frac{a}{4b}$, $x_2 = -\frac{a}{2}$ (при $b \neq 0$).

д) $x^2 - \frac{a^2 + b^2}{ab}x + 1 = 0$

Уравнение имеет смысл при $a \neq 0$ и $b \neq 0$.
Преобразуем коэффициент при $x$: $\frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$.
Уравнение принимает вид: $x^2 - (\frac{a}{b} + \frac{b}{a})x + 1 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение. Согласно теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2$ равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, а их произведение $x_1x_2$ равно свободному члену.
$x_1 + x_2 = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$
$x_1x_2 = 1$
Из этих соотношений очевидно, что корнями являются $x_1 = \frac{a}{b}$ и $x_2 = \frac{b}{a}$.

Ответ: $x_1 = \frac{a}{b}$, $x_2 = \frac{b}{a}$ (при $a \neq 0, b \neq 0$).

е) $x^2 + \frac{a^2 + b^2}{ab}x + 1 = 0$

Уравнение имеет смысл при $a \neq 0$ и $b \neq 0$.
Преобразуем коэффициент при $x$: $\frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$.
Уравнение принимает вид: $x^2 + (\frac{a}{b} + \frac{b}{a})x + 1 = 0$.
По теореме Виета для корней $x_1$ и $x_2$ должны выполняться условия:
$x_1 + x_2 = -(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})$
$x_1x_2 = 1$
Легко видеть, что этими корнями являются $x_1 = -\frac{a}{b}$ и $x_2 = -\frac{b}{a}$.
Проверка:
Сумма: $(-\frac{a}{b}) + (-\frac{b}{a}) = -(\frac{a^2+b^2}{ab}) = -(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})$.
Произведение: $(-\frac{a}{b}) \cdot (-\frac{b}{a}) = 1$.
Оба условия выполняются.

Ответ: $x_1 = -\frac{a}{b}$, $x_2 = -\frac{b}{a}$ (при $a \neq 0, b \neq 0$).