Номер 911, страница 265 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (911–912):

911. a) $(x - 1)(x + 2)$;

б) $(x + 3)(x - 4)$;

в) $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$;

г) $(x + 3)(x - 2)(x + 1)$.

а)

Чтобы упростить выражение $(x - 1)(x + 2)$, нужно раскрыть скобки, перемножив каждый член первого двучлена на каждый член второго двучлена. Этот метод также известен как FOIL (First, Outer, Inner, Last).
$(x - 1)(x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 - 1 \cdot x - 1 \cdot 2$
Выполним умножение:
$x^2 + 2x - x - 2$
Теперь приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $x$ в одинаковой степени):
$x^2 + (2 - 1)x - 2 = x^2 + x - 2$
Ответ: $x^2 + x - 2$

б)

Раскроем скобки в выражении $(x + 3)(x - 4)$, используя правило умножения многочленов:
$(x + 3)(x - 4) = x \cdot x + x \cdot (-4) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-4)$
Выполним умножение:
$x^2 - 4x + 3x - 12$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + (-4 + 3)x - 12 = x^2 - x - 12$
Ответ: $x^2 - x - 12$

в)

Чтобы упростить выражение $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$, будем перемножать скобки последовательно. Сначала перемножим первые две скобки:
$(x - 1)(x - 2) = x \cdot x + x \cdot (-2) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$
Теперь умножим полученный многочлен на третий двучлен $(x - 3)$:
$(x^2 - 3x + 2)(x - 3) = x^2(x - 3) - 3x(x - 3) + 2(x - 3)$
Раскроем скобки:
$x^3 - 3x^2 - 3x^2 + 9x + 2x - 6$
Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (-3 - 3)x^2 + (9 + 2)x - 6 = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$
Ответ: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

г)

Упростим выражение $(x + 3)(x - 2)(x + 1)$ путем последовательного перемножения. Сначала перемножим первые две скобки:
$(x + 3)(x - 2) = x \cdot x + x \cdot (-2) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6$
Теперь умножим полученный результат на третий двучлен $(x + 1)$:
$(x^2 + x - 6)(x + 1) = x^2(x + 1) + x(x + 1) - 6(x + 1)$
Раскроем скобки:
$x^3 + x^2 + x^2 + x - 6x - 6$
Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (1 + 1)x^2 + (1 - 6)x - 6 = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$
Ответ: $x^3 + 2x^2 - 5x - 6$