Номер 904, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения

Пусть через $a$, $b$, $c$, $m$, $n$, $x$, $y$, $z$ обозначены отличные от нуля числа, при которых выражения имеют смысл. Упростите выражение (904–909):

а) $a^3 \cdot a$;

б) $a^5 \cdot a^7$;

в) $x^{10} \cdot x^{10}$;

г) $x^0 \cdot x^4$;

д) $ab^2 \cdot a^2b$;

е) $a^2b^3 \cdot a^5b^7$;

ж) $x^4y^5 \cdot xy$;

з) $x^0y^{10} \cdot x^0y^3$.

Для упрощения данных выражений мы будем использовать свойство степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются, а основание остается прежним. Это свойство можно записать в виде формулы: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Также будем использовать правило, что любое отличное от нуля число в нулевой степени равно единице ($a^0 = 1$, при $a \ne 0$), и что переменная без показателя степени имеет показатель 1 ($a = a^1$).

а) $a^3 \cdot a$

Представим множитель $a$ как степень с показателем 1: $a = a^1$. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a$: $a^3 \cdot a^1 = a^{3+1} = a^4$.

Ответ: $a^4$.

б) $a^5 \cdot a^7$

Основания степеней одинаковы ($a$), поэтому складываем их показатели: $a^5 \cdot a^7 = a^{5+7} = a^{12}$.

Ответ: $a^{12}$.

в) $x^{10} \cdot x^{10}$

Основания степеней одинаковы ($x$), складываем показатели: $x^{10} \cdot x^{10} = x^{10+10} = x^{20}$.

Ответ: $x^{20}$.

г) $x^0 \cdot x^4$

По условию $x$ не равно нулю, следовательно, $x^0 = 1$. $x^0 \cdot x^4 = 1 \cdot x^4 = x^4$. В качестве альтернативного решения можно сложить показатели: $x^0 \cdot x^4 = x^{0+4} = x^4$.

Ответ: $x^4$.

д) $ab^2 \cdot a^2b$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями, используя переместительный закон умножения: $ab^2 \cdot a^2b = (a \cdot a^2) \cdot (b^2 \cdot b)$. Упростим каждую группу, помня, что $a = a^1$ и $b = b^1$: $a^1 \cdot a^2 = a^{1+2} = a^3$. $b^2 \cdot b^1 = b^{2+1} = b^3$. Перемножим полученные результаты: $a^3b^3$.

Ответ: $a^3b^3$.

е) $a^2b^3 \cdot a^5b^7$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями: $a^2b^3 \cdot a^5b^7 = (a^2 \cdot a^5) \cdot (b^3 \cdot b^7)$. Применим правило умножения степеней для каждой группы: $a^2 \cdot a^5 = a^{2+5} = a^7$. $b^3 \cdot b^7 = b^{3+7} = b^{10}$. Объединим результаты: $a^7b^{10}$.

Ответ: $a^7b^{10}$.

ж) $x^4y^5 \cdot xy$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями, учитывая, что $x=x^1$ и $y=y^1$: $x^4y^5 \cdot xy = (x^4 \cdot x^1) \cdot (y^5 \cdot y^1)$. Упростим каждую группу: $x^4 \cdot x^1 = x^{4+1} = x^5$. $y^5 \cdot y^1 = y^{5+1} = y^6$. Итоговое выражение: $x^5y^6$.

Ответ: $x^5y^6$.

з) $x^0y^{10} \cdot x^0y^3$

Поскольку $x \ne 0$, то $x^0 = 1$. Подставим это значение в выражение: $1 \cdot y^{10} \cdot 1 \cdot y^3 = y^{10} \cdot y^3$. Теперь применим правило умножения степеней для основания $y$: $y^{10} \cdot y^3 = y^{10+3} = y^{13}$.

Ответ: $y^{13}$.