Страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

897. a) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12};$

б) $\sqrt{10} \cdot \sqrt{15};$

в) $\sqrt{60} : \sqrt{5};$

г) $\sqrt{72} \cdot \sqrt{30}.$

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$, воспользуемся свойством умножения корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Применим это свойство:

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36}$

Квадратный корень из 36 равен 6.

$\sqrt{36} = 6$

Ответ: $6$.

б) Для вычисления произведения $\sqrt{10} \cdot \sqrt{15}$ также используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.

$\sqrt{10} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{10 \cdot 15} = \sqrt{150}$

Чтобы упростить выражение, разложим число 150 на множители так, чтобы один из них был полным квадратом:

$150 = 25 \cdot 6$

Теперь вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{6} = 5\sqrt{6}$

Ответ: $5\sqrt{6}$.

в) Для нахождения частного $\sqrt{60} : \sqrt{5}$ применим свойство деления корней: $\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b}$.

$\sqrt{60} : \sqrt{5} = \sqrt{60 : 5} = \sqrt{12}$

Упростим полученный корень, разложив 12 на множители:

$12 = 4 \cdot 3$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$.

г) Вычислим произведение $\sqrt{72} \cdot \sqrt{30}$, используя свойство умножения корней.

$\sqrt{72} \cdot \sqrt{30} = \sqrt{72 \cdot 30}$

Чтобы упростить вычисление, разложим числа 72 и 30 на множители и сгруппируем их так, чтобы выделить полные квадраты.

$72 = 36 \cdot 2$

$30 = 2 \cdot 15$

$\sqrt{72 \cdot 30} = \sqrt{(36 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 15)} = \sqrt{36 \cdot 4 \cdot 15}$

Теперь вынесем множители из-под знака корня:

$\sqrt{36 \cdot 4 \cdot 15} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{15} = 6 \cdot 2 \cdot \sqrt{15} = 12\sqrt{15}$

Ответ: $12\sqrt{15}$.

898. a) $((7\sqrt{2} - 5\sqrt{6}) - (3\sqrt{8} - 4\sqrt{24})) \cdot 3\sqrt{2};$

б) $((2\sqrt{20} - 7\sqrt{8}) - (3\sqrt{5} - 3\sqrt{18})) \cdot 4\sqrt{10}.$

а) $((7\sqrt{2}-5\sqrt{6})-(3\sqrt{8}-4\sqrt{24}))\cdot3\sqrt{2}$

1. Сначала упростим выражения с корнями в скобках. Для этого вынесем множители из-под знака корня:

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$

2. Подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:

$((7\sqrt{2}-5\sqrt{6})-(3 \cdot 2\sqrt{2}-4 \cdot 2\sqrt{6}))\cdot3\sqrt{2} = ((7\sqrt{2}-5\sqrt{6})-(6\sqrt{2}-8\sqrt{6}))\cdot3\sqrt{2}$

3. Раскроем внутренние скобки, изменив знаки у вычитаемого:

$(7\sqrt{2}-5\sqrt{6}-6\sqrt{2}+8\sqrt{6})\cdot3\sqrt{2}$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в скобках:

$((7\sqrt{2}-6\sqrt{2})+(-5\sqrt{6}+8\sqrt{6}))\cdot3\sqrt{2} = (\sqrt{2}+3\sqrt{6})\cdot3\sqrt{2}$

5. Теперь умножим полученное выражение в скобках на $3\sqrt{2}$, используя распределительный закон умножения:

$\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} + 3\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{2} = 3 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) + 9 \cdot (\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}) = 3 \cdot 2 + 9 \cdot \sqrt{12}$

6. Упростим получившееся выражение:

$6 + 9\sqrt{12} = 6 + 9\sqrt{4 \cdot 3} = 6 + 9 \cdot 2\sqrt{3} = 6 + 18\sqrt{3}$

Ответ: $6+18\sqrt{3}$

б) $((2\sqrt{20}-7\sqrt{8})-(3\sqrt{5}-3\sqrt{18}))\cdot4\sqrt{10}$

1. Упростим выражения с корнями в скобках, вынеся множители из-под знака корня:

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$

2. Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$((2 \cdot 2\sqrt{5}-7 \cdot 2\sqrt{2})-(3\sqrt{5}-3 \cdot 3\sqrt{2}))\cdot4\sqrt{10} = ((4\sqrt{5}-14\sqrt{2})-(3\sqrt{5}-9\sqrt{2}))\cdot4\sqrt{10}$

3. Раскроем внутренние скобки:

$(4\sqrt{5}-14\sqrt{2}-3\sqrt{5}+9\sqrt{2})\cdot4\sqrt{10}$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$((4\sqrt{5}-3\sqrt{5})+(-14\sqrt{2}+9\sqrt{2}))\cdot4\sqrt{10} = (\sqrt{5}-5\sqrt{2})\cdot4\sqrt{10}$

5. Умножим полученное выражение в скобках на $4\sqrt{10}$:

$\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{10} - 5\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{10} = 4\sqrt{5 \cdot 10} - 20\sqrt{2 \cdot 10} = 4\sqrt{50} - 20\sqrt{20}$

6. Упростим получившиеся корни:

$4\sqrt{50} = 4\sqrt{25 \cdot 2} = 4 \cdot 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$

$20\sqrt{20} = 20\sqrt{4 \cdot 5} = 20 \cdot 2\sqrt{5} = 40\sqrt{5}$

7. Подставим упрощенные значения и запишем окончательный результат:

$20\sqrt{2} - 40\sqrt{5}$

Ответ: $20\sqrt{2}-40\sqrt{5}$

899. Возведите выражение в степень:

а) $ (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 $;

б) $ (\sqrt{6}+\sqrt{2})^2 $.

а) Для того чтобы возвести выражение $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$ в степень, воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{2}$.

Подставим эти значения в формулу:

$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$

Теперь вычислим каждое слагаемое:

$(\sqrt{3})^2 = 3$

$(\sqrt{2})^2 = 2$

$2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{3 \cdot 2} = 2\sqrt{6}$

Соберем все вместе:

$3 - 2\sqrt{6} + 2$

Сложим числовые значения:

$3 + 2 = 5$

Таким образом, получаем:

$5 - 2\sqrt{6}$

Ответ: $5 - 2\sqrt{6}$

б) Для возведения выражения $(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2$ в степень, применим формулу сокращенного умножения "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В этом выражении $a = \sqrt{6}$ и $b = \sqrt{2}$.

Подставим значения в формулу:

$(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности:

$(\sqrt{6})^2 = 6$

$(\sqrt{2})^2 = 2$

$2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{6 \cdot 2} = 2\sqrt{12}$

Упростим выражение $2\sqrt{12}$. Для этого вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Тогда $2\sqrt{12} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Теперь подставим все вычисленные значения обратно в выражение:

$6 + 4\sqrt{3} + 2$

Сложим целые числа:

$6 + 2 = 8$

В итоге получаем:

$8 + 4\sqrt{3}$

Ответ: $8 + 4\sqrt{3}$

900. Задача Бхаскары (Индия, XII в.). Докажите, что $\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}} = \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}.$

Для доказательства данного тождества возведем обе его части в квадрат. Так как обе части исходного равенства являются положительными числами, то равенство будет верным тогда и только тогда, когда равны их квадраты.

1. Возведем в квадрат правую часть равенства, $(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})$, используя формулу квадрата суммы трех слагаемых $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$:

$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 = (\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2+(\sqrt{5})^2 + 2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} + 2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{5} + 2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}$

$= 2+3+5 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$

$= 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$

2. Теперь рассмотрим подкоренное выражение в левой части равенства: $10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}$. Упростим слагаемые, содержащие корни, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

$\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$

$\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$

Подставив упрощенные значения, получим, что подкоренное выражение левой части равно:

$10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$

3. Сравнивая результаты, мы видим, что квадрат правой части равенства в точности совпадает с подкоренным выражением левой части:

$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 = 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15} = 10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей этого равенства, мы приходим к исходному тождеству:

$\sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}} = \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

901. Задачи М. Штифеля (Германия, 1486–1567).

а) Проверьте равенство $\sqrt{16 + \sqrt[3]{8}} = \sqrt[3]{4096} + \sqrt[3]{64}$.

б) Упростите выражение $\sqrt[3]{45 + \sqrt{1682}}$.

а) Проверим равенство, вычислив значения его левой и правой частей.

Вычислим значение левой части равенства:

$\sqrt{16 + \sqrt[3]{8}} = \sqrt{16 + 2} = \sqrt{18}$

Значение левой части равно $\sqrt{18}$. Мы можем также упростить это выражение: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.

Вычислим значение правой части равенства:

$\sqrt{\sqrt[3]{4096}} + \sqrt{\sqrt[3]{64}}$

Используем свойство корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$:

Первое слагаемое: $\sqrt{\sqrt[3]{4096}} = \sqrt[2 \cdot 3]{4096} = \sqrt[6]{4096}$. Поскольку $4^6 = (4^3)^2 = 64^2 = 4096$, то $\sqrt[6]{4096} = 4$. Альтернативно, можно сначала извлечь кубический корень: $\sqrt[3]{4096}=16$, а затем квадратный корень: $\sqrt{16}=4$.

Второе слагаемое: $\sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[2 \cdot 3]{64} = \sqrt[6]{64}$. Поскольку $2^6 = 64$, то $\sqrt[6]{64} = 2$. Альтернативно: $\sqrt[3]{64}=4$, а $\sqrt{4}=2$.

Сумма в правой части равна: $4 + 2 = 6$.

Теперь сравним левую и правую части:

Левая часть: $\sqrt{18}$.

Правая часть: $6$.

Чтобы проверить, равно ли $\sqrt{18}$ числу $6$, возведем оба числа в квадрат:

$(\sqrt{18})^2 = 18$

$6^2 = 36$

Поскольку $18 \neq 36$, то и $\sqrt{18} \neq 6$. Следовательно, исходное равенство неверно.

Ответ: Равенство неверно, так как $\sqrt{18} \neq 6$.

б) Упростим выражение $\sqrt[3]{45 + \sqrt{1682}}$.

Сначала упростим подкоренное выражение $\sqrt{1682}$. Разложим 1682 на множители:

$1682 = 2 \cdot 841$.

Число 841 является полным квадратом, так как $29^2 = 841$.

Тогда $\sqrt{1682} = \sqrt{841 \cdot 2} = 29\sqrt{2}$.

Выражение принимает вид: $\sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}}$.

Предположим, что это выражение можно представить в виде $a + b\sqrt{2}$, где $a$ и $b$ - рациональные числа. Возведем $a + b\sqrt{2}$ в куб:

$(a + b\sqrt{2})^3 = a^3 + 3a^2(b\sqrt{2}) + 3a(b\sqrt{2})^2 + (b\sqrt{2})^3 = a^3 + 3a^2b\sqrt{2} + 6ab^2 + 2b^3\sqrt{2}$

Сгруппируем слагаемые: $(a^3 + 6ab^2) + (3a^2b + 2b^3)\sqrt{2}$.

Приравняем это выражение к $45 + 29\sqrt{2}$ и составим систему уравнений для $a$ и $b$, предполагая, что они целые числа:

$\begin{cases} a^3 + 6ab^2 = 45 \\ 3a^2b + 2b^3 = 29 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки:

$\begin{cases} a(a^2 + 6b^2) = 45 \\ b(3a^2 + 2b^2) = 29 \end{cases}$

Поскольку 29 - простое число, а $a$ и $b$, как мы предполагаем, целые, то $b$ может быть только $\pm1$ или $\pm29$. Проверим случай, когда $a$ и $b$ - натуральные числа. Тогда $b=1$ или $b=29$.

Если $b=1$, второе уравнение примет вид: $1(3a^2 + 2 \cdot 1^2) = 29$, то есть $3a^2 + 2 = 29$.

$3a^2 = 27$

$a^2 = 9$

$a = 3$ (так как мы ищем натуральное решение).

Теперь подставим $a=3$ и $b=1$ в первое уравнение для проверки:

$3(3^2 + 6 \cdot 1^2) = 3(9 + 6) = 3 \cdot 15 = 45$.

Равенство выполняется. Значит, мы нашли решение: $a=3$, $b=1$.

Следовательно, $\sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}} = 3 + 1 \cdot \sqrt{2} = 3 + \sqrt{2}$.

Ответ: $3 + \sqrt{2}$.

902. Изобразите на координатной оси числа:

а) $ \sqrt{2} $ и 1,4;

б) 1,7 и $ \sqrt{3} $;

в) $ \sqrt{3} $; $ \sqrt{5} $; $ \sqrt{2}+1 $;

г) $ \sqrt{11} $; 3,2; $ \sqrt{13} $.

а) Чтобы изобразить на координатной оси числа $\sqrt{2}$ и $1,4$, необходимо их сравнить. Для этого возведем оба числа в квадрат, так как оба они положительны:

$(\sqrt{2})^2 = 2$

$(1,4)^2 = 1,96$

Поскольку $2 > 1,96$, то и $\sqrt{2} > 1,4$. Это означает, что на координатной оси точка, соответствующая числу $1,4$, будет находиться левее точки, соответствующей числу $\sqrt{2}$.

Ответ: На координатной оси числа расположены в следующем порядке (слева направо): $1,4$; $\sqrt{2}$.

б) Чтобы изобразить на координатной оси числа $1,7$ и $\sqrt{3}$, сравним их. Возведем оба положительных числа в квадрат:

$(1,7)^2 = 2,89$

$(\sqrt{3})^2 = 3$

Так как $2,89 < 3$, то $1,7 < \sqrt{3}$. Следовательно, на координатной оси число $1,7$ расположено левее числа $\sqrt{3}$.

Ответ: На координатной оси числа расположены в следующем порядке (слева направо): $1,7$; $\sqrt{3}$.

в) Необходимо расположить на координатной оси числа $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ и $\sqrt{2} + 1$. Для этого сравним их попарно.

1. Сравним $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$. Так как функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, а $3 < 5$, то $\sqrt{3} < \sqrt{5}$.

2. Сравним $\sqrt{5}$ и $\sqrt{2} + 1$. Оба числа положительны, поэтому можно сравнить их квадраты:

$(\sqrt{5})^2 = 5$

$(\sqrt{2} + 1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

Теперь сравним $5$ и $3 + 2\sqrt{2}$. Вычтем $3$ из обеих частей неравенства: $5 - 3$ и $2\sqrt{2}$, то есть $2$ и $2\sqrt{2}$. Так как $1 < \sqrt{2}$, то $2 < 2\sqrt{2}$. Следовательно, $5 < 3 + 2\sqrt{2}$, а значит $\sqrt{5} < \sqrt{2} + 1$.

В результате мы получили цепочку неравенств: $\sqrt{3} < \sqrt{5} < \sqrt{2} + 1$.

Ответ: На координатной оси числа расположены в следующем порядке (слева направо): $\sqrt{3}$; $\sqrt{5}$; $\sqrt{2} + 1$.

г) Чтобы изобразить на координатной оси числа $\sqrt{11}$, $3,2$ и $\sqrt{13}$, сравним их. Все числа положительны, поэтому мы можем сравнивать их квадраты.

$(\sqrt{11})^2 = 11$

$(3,2)^2 = 10,24$

$(\sqrt{13})^2 = 13$

Сравнивая полученные квадраты, видим, что $10,24 < 11 < 13$.

Это означает, что для исходных чисел выполняется неравенство: $3,2 < \sqrt{11} < \sqrt{13}$.

Ответ: На координатной оси числа расположены в следующем порядке (слева направо): $3,2$; $\sqrt{11}$; $\sqrt{13}$.

903. Укажите, если возможно, натуральное число, квадратный корень из которого заключён между:

а) $4000$ и $4001$;

б) $400,0$ и $400,1$;

в) $40,00$ и $40,01$;

г) $1002$ и $1003$;

д) $100,2$ и $100,3$;

е) $10,02$ и $10,03$.

Общий подход для решения всех подпунктов: чтобы найти натуральное число $n$, квадратный корень из которого заключен между двумя числами $a$ и $b$ (т.е. $a < \sqrt{n} < b$), нужно возвести это двойное неравенство в квадрат. Поскольку все его части положительны, знаки неравенства сохранятся: $a^2 < n < b^2$. Задача сводится к нахождению натурального (целого) числа $n$ в интервале $(a^2, b^2)$. Если в этом интервале есть хотя бы одно целое число, то такое натуральное число $n$ существует. Если же интервал не содержит целых чисел, то найти такое $n$ невозможно.

а) 4000 и 4001

Ищем натуральное число $n$, такое что $4000 < \sqrt{n} < 4001$.

Возводим в квадрат: $4000^2 < n < 4001^2$.

Вычисляем значения границ:

$4000^2 = 16\ 000\ 000$.

$4001^2 = (4000 + 1)^2 = 4000^2 + 2 \cdot 4000 \cdot 1 + 1^2 = 16\ 000\ 000 + 8000 + 1 = 16\ 008\ 001$.

Получаем неравенство: $16\ 000\ 000 < n < 16\ 008\ 001$.

В этом интервале есть много натуральных чисел. В качестве примера можно взять наименьшее из них: $n = 16\ 000\ 001$.

Ответ: $16\ 000\ 001$.

б) 400,0 и 400,1

Ищем натуральное число $n$, такое что $400,0 < \sqrt{n} < 400,1$.

Возводим в квадрат: $400,0^2 < n < 400,1^2$.

Вычисляем значения границ:

$400,0^2 = 160\ 000$.

$400,1^2 = (400 + 0,1)^2 = 400^2 + 2 \cdot 400 \cdot 0,1 + 0,1^2 = 160\ 000 + 80 + 0,01 = 160\ 080,01$.

Получаем неравенство: $160\ 000 < n < 160\ 080,01$.

В этом интервале есть натуральные числа (от $160\ 001$ до $160\ 080$). В качестве примера возьмем $n = 160\ 001$.

Ответ: $160\ 001$.

в) 40,00 и 40,01

Ищем натуральное число $n$, такое что $40,00 < \sqrt{n} < 40,01$.

Возводим в квадрат: $40,00^2 < n < 40,01^2$.

Вычисляем значения границ:

$40,00^2 = 1600$.

$40,01^2 = (40 + 0,01)^2 = 40^2 + 2 \cdot 40 \cdot 0,01 + 0,01^2 = 1600 + 0,8 + 0,0001 = 1600,8001$.

Получаем неравенство: $1600 < n < 1600,8001$.

В интервале $(1600; 1600,8001)$ нет ни одного натурального (целого) числа. Следовательно, найти такое число $n$ невозможно.

Ответ: Такого натурального числа не существует.

г) 1002 и 1003

Ищем натуральное число $n$, такое что $1002 < \sqrt{n} < 1003$.

Возводим в квадрат: $1002^2 < n < 1003^2$.

Вычисляем значения границ:

$1002^2 = (1000 + 2)^2 = 1\ 000\ 000 + 4000 + 4 = 1\ 004\ 004$.

$1003^2 = (1000 + 3)^2 = 1\ 000\ 000 + 6000 + 9 = 1\ 006\ 009$.

Получаем неравенство: $1\ 004\ 004 < n < 1\ 006\ 009$.

В этом интервале есть много натуральных чисел. В качестве примера возьмем $n = 1\ 004\ 005$.

Ответ: $1\ 004\ 005$.

д) 100,2 и 100,3

Ищем натуральное число $n$, такое что $100,2 < \sqrt{n} < 100,3$.

Возводим в квадрат: $100,2^2 < n < 100,3^2$.

Вычисляем значения границ:

$100,2^2 = (100 + 0,2)^2 = 10000 + 2 \cdot 100 \cdot 0,2 + 0,2^2 = 10000 + 40 + 0,04 = 10040,04$.

$100,3^2 = (100 + 0,3)^2 = 10000 + 2 \cdot 100 \cdot 0,3 + 0,3^2 = 10000 + 60 + 0,09 = 10060,09$.

Получаем неравенство: $10040,04 < n < 10060,09$.

В этом интервале есть натуральные числа (от $10041$ до $10060$). В качестве примера возьмем $n = 10041$.

Ответ: $10041$.

е) 10,02 и 10,03

Ищем натуральное число $n$, такое что $10,02 < \sqrt{n} < 10,03$.

Возводим в квадрат: $10,02^2 < n < 10,03^2$.

Вычисляем значения границ:

$10,02^2 = (10 + 0,02)^2 = 100 + 2 \cdot 10 \cdot 0,02 + 0,02^2 = 100 + 0,4 + 0,0004 = 100,4004$.

$10,03^2 = (10 + 0,03)^2 = 100 + 2 \cdot 10 \cdot 0,03 + 0,03^2 = 100 + 0,6 + 0,0009 = 100,6009$.

Получаем неравенство: $100,4004 < n < 100,6009$.

В интервале $(100,4004; 100,6009)$ нет ни одного натурального (целого) числа. Следовательно, найти такое число $n$ невозможно.

Ответ: Такого натурального числа не существует.

Буквенные выражения

Пусть через $a$, $b$, $c$, $m$, $n$, $x$, $y$, $z$ обозначены отличные от нуля числа, при которых выражения имеют смысл. Упростите выражение (904–909):

а) $a^3 \cdot a$;

б) $a^5 \cdot a^7$;

в) $x^{10} \cdot x^{10}$;

г) $x^0 \cdot x^4$;

д) $ab^2 \cdot a^2b$;

е) $a^2b^3 \cdot a^5b^7$;

ж) $x^4y^5 \cdot xy$;

з) $x^0y^{10} \cdot x^0y^3$.

Для упрощения данных выражений мы будем использовать свойство степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются, а основание остается прежним. Это свойство можно записать в виде формулы: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Также будем использовать правило, что любое отличное от нуля число в нулевой степени равно единице ($a^0 = 1$, при $a \ne 0$), и что переменная без показателя степени имеет показатель 1 ($a = a^1$).

а) $a^3 \cdot a$

Представим множитель $a$ как степень с показателем 1: $a = a^1$. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a$: $a^3 \cdot a^1 = a^{3+1} = a^4$.

Ответ: $a^4$.

б) $a^5 \cdot a^7$

Основания степеней одинаковы ($a$), поэтому складываем их показатели: $a^5 \cdot a^7 = a^{5+7} = a^{12}$.

Ответ: $a^{12}$.

в) $x^{10} \cdot x^{10}$

Основания степеней одинаковы ($x$), складываем показатели: $x^{10} \cdot x^{10} = x^{10+10} = x^{20}$.

Ответ: $x^{20}$.

г) $x^0 \cdot x^4$

По условию $x$ не равно нулю, следовательно, $x^0 = 1$. $x^0 \cdot x^4 = 1 \cdot x^4 = x^4$. В качестве альтернативного решения можно сложить показатели: $x^0 \cdot x^4 = x^{0+4} = x^4$.

Ответ: $x^4$.

д) $ab^2 \cdot a^2b$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями, используя переместительный закон умножения: $ab^2 \cdot a^2b = (a \cdot a^2) \cdot (b^2 \cdot b)$. Упростим каждую группу, помня, что $a = a^1$ и $b = b^1$: $a^1 \cdot a^2 = a^{1+2} = a^3$. $b^2 \cdot b^1 = b^{2+1} = b^3$. Перемножим полученные результаты: $a^3b^3$.

Ответ: $a^3b^3$.

е) $a^2b^3 \cdot a^5b^7$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями: $a^2b^3 \cdot a^5b^7 = (a^2 \cdot a^5) \cdot (b^3 \cdot b^7)$. Применим правило умножения степеней для каждой группы: $a^2 \cdot a^5 = a^{2+5} = a^7$. $b^3 \cdot b^7 = b^{3+7} = b^{10}$. Объединим результаты: $a^7b^{10}$.

Ответ: $a^7b^{10}$.

ж) $x^4y^5 \cdot xy$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями, учитывая, что $x=x^1$ и $y=y^1$: $x^4y^5 \cdot xy = (x^4 \cdot x^1) \cdot (y^5 \cdot y^1)$. Упростим каждую группу: $x^4 \cdot x^1 = x^{4+1} = x^5$. $y^5 \cdot y^1 = y^{5+1} = y^6$. Итоговое выражение: $x^5y^6$.

Ответ: $x^5y^6$.

з) $x^0y^{10} \cdot x^0y^3$

Поскольку $x \ne 0$, то $x^0 = 1$. Подставим это значение в выражение: $1 \cdot y^{10} \cdot 1 \cdot y^3 = y^{10} \cdot y^3$. Теперь применим правило умножения степеней для основания $y$: $y^{10} \cdot y^3 = y^{10+3} = y^{13}$.

Ответ: $y^{13}$.

905. а) $x^4 : x^3;$

б) $x^2 : x;$

в) $m^{17} : m^8;$

г) $m^{41} : m^{14};$

д) $\frac{m^6}{m^3};$

е) $\frac{n^3}{n^3};$

ж) $\frac{a^{11}}{a^{42}};$

з) $\frac{b^{14}}{b^{14}}.$

а) При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. Используем формулу $a^m : a^n = a^{m-n}$. В этом примере $x^4 : x^3 = x^{4-3} = x^1 = x$. Ответ: $x$.

б) Выражение $x$ эквивалентно $x^1$. Применяя правило деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$, получаем: $x^2 : x = x^2 : x^1 = x^{2-1} = x^1 = x$. Ответ: $x$.

в) Используя правило вычитания показателей при делении степеней с одинаковым основанием, $a^m : a^n = a^{m-n}$, находим: $m^{17} : m^8 = m^{17-8} = m^9$. Ответ: $m^9$.

г) По правилу деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$ имеем: $m^{41} : m^{14} = m^{41-14} = m^{27}$. Ответ: $m^{27}$.

д) Дробная черта обозначает операцию деления. Правило для частного степеней с одинаковым основанием выглядит так: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Следовательно, $\frac{m^6}{m^3} = m^{6-3} = m^3$. Ответ: $m^3$.

е) Используя правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем $\frac{n^3}{n^3} = n^{3-3} = n^0$. По определению, любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Таким образом, результат равен 1 (при условии $n \neq 0$). Ответ: $1$.

ж) Применяем правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $\frac{a^{11}}{a^{42}} = a^{11-42} = a^{-31}$. Степень с отрицательным показателем определяется как $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$. Значит, $a^{-31} = \frac{1}{a^{31}}$. Ответ: $\frac{1}{a^{31}}$.

з) По правилу деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ имеем: $\frac{b^{14}}{b^{14}} = b^{14-14} = b^0$. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1. Значит, результат равен 1 (при $b \neq 0$). Ответ: $1$.

906. а) $(a^2)^3$;

б) $(x^3)^5$;

в) $(-x^2)^3$;

г) $(-a^3)^2$;

д) $(2x^2)^2$;

е) $(3a^2)^3$;

ж) $(\frac{1}{3}c)^4$;

з) $(-2x^2)^3$.

а) Для возведения степени в степень используется правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, согласно которому основание степени остается прежним, а показатели перемножаются.
Применяя это правило, получаем: $(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$.
Ответ: $a^6$.

б) Аналогично пункту а), используем правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
$(x^3)^5 = x^{3 \cdot 5} = x^{15}$.
Ответ: $x^{15}$.

в) При возведении отрицательного выражения в нечетную степень (в данном случае 3), знак минус сохраняется. Затем применяем правило возведения степени в степень.
$(-x^2)^3 = -(x^2)^3 = -x^{2 \cdot 3} = -x^6$.
Ответ: $-x^6$.

г) При возведении отрицательного выражения в четную степень (в данном случае 2), знак минус исчезает, так как $(-1)^2=1$. Затем применяем правило возведения степени в степень.
$(-a^3)^2 = (a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$.
Ответ: $a^6$.

д) Здесь применяется правило возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$. Каждый множитель в скобках возводится в указанную степень.
$(2x^2)^2 = 2^2 \cdot (x^2)^2 = 4 \cdot x^{2 \cdot 2} = 4x^4$.
Ответ: $4x^4$.

е) Используем то же правило, что и в пункте д): возводим каждый множитель в куб.
$(3a^2)^3 = 3^3 \cdot (a^2)^3 = 27 \cdot a^{2 \cdot 3} = 27a^6$.
Ответ: $27a^6$.

ж) Возводим в четвертую степень каждый множитель произведения $(\frac{1}{3} \cdot c)$, используя правило $(ab)^n = a^n b^n$.
$(\frac{1}{3}c)^4 = (\frac{1}{3})^4 \cdot c^4 = \frac{1^4}{3^4} \cdot c^4 = \frac{1}{81}c^4$.
Ответ: $\frac{1}{81}c^4$.

з) Возводим в куб произведение $(-2 \cdot x^2)$. Так как степень нечетная, знак минус у коэффициента сохраняется.
$(-2x^2)^3 = (-2)^3 \cdot (x^2)^3 = -8 \cdot x^{2 \cdot 3} = -8x^6$.
Ответ: $-8x^6$.

907. а) $(a^5 \cdot a^2 \cdot a) : (a^3 \cdot a^7);$

б) $(x^4 \cdot x^3 \cdot x) : (x^3 \cdot x^6);$

в) $(ab^2)^3 : (a^2b^4);$

г) $(m^3n^5)^3 : (m^9n^15).$

а) Для решения примера $(a^5 \cdot a^2 \cdot a) : (a^3 \cdot a^7)$ воспользуемся свойствами степеней.
Сначала упростим выражение в первых скобках, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Важно помнить, что $a$ можно записать как $a^1$.
$(a^5 \cdot a^2 \cdot a^1) = a^{5+2+1} = a^8$.
Теперь упростим выражение во вторых скобках по тому же правилу:
$(a^3 \cdot a^7) = a^{3+7} = a^{10}$.
Выполним деление, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $x^m : x^n = x^{m-n}$:
$a^8 : a^{10} = a^{8-10} = a^{-2}$.
Ответ: $a^{-2}$.

б) Решаем пример $(x^4 \cdot x^3 \cdot x) : (x^3 \cdot x^6)$ аналогично предыдущему.
Упростим выражение в первых скобках, помня, что $x = x^1$:
$(x^4 \cdot x^3 \cdot x^1) = x^{4+3+1} = x^8$.
Упростим выражение во вторых скобках:
$(x^3 \cdot x^6) = x^{3+6} = x^9$.
Выполним деление полученных выражений:
$x^8 : x^9 = x^{8-9} = x^{-1}$.
Ответ: $x^{-1}$.

в) Для решения примера $(ab^2)^3 : (a^2b^4)$ будем использовать правило возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$ и правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
Сначала раскроем скобки в первом выражении:
$(ab^2)^3 = a^3 \cdot (b^2)^3 = a^3 \cdot b^{2 \cdot 3} = a^3b^6$.
Теперь выполним деление полученного выражения на $(a^2b^4)$:
$a^3b^6 : a^2b^4 = (a^3:a^2) \cdot (b^6:b^4) = a^{3-2} \cdot b^{6-4} = a^1 \cdot b^2 = ab^2$.
Ответ: $ab^2$.

г) Решаем пример $(m^3n^5)^3 : (m^9n^{15})$, используя те же правила, что и в пункте в).
Упростим выражение в первых скобках:
$(m^3n^5)^3 = (m^3)^3 \cdot (n^5)^3 = m^{3 \cdot 3} \cdot n^{5 \cdot 3} = m^9n^{15}$.
Теперь выполним деление:
$(m^9n^{15}) : (m^9n^{15})$.
Поскольку мы делим выражение само на себя, результат равен 1 (при условии, что $m \neq 0$ и $n \neq 0$).
Также можно применить правило деления степеней:
$m^{9-9} \cdot n^{15-15} = m^0 \cdot n^0 = 1 \cdot 1 = 1$.
Ответ: 1.

908. а) $m^{-1} \cdot m^2;$

б) $x^{-2} \cdot x^{-3};$

в) $a^{-10} \cdot a^{-10};$

г) $b^0 \cdot b^{-4};$

д) $y^3 : y^{-2};$

е) $x^{-2} : x^{-3};$

ж) $a^{-10} : a^{-10};$

з) $b^3 : b^{-4}.$

а) Чтобы умножить степени с одинаковым основанием, необходимо сложить их показатели. Это следует из свойства степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Применяя это правило, получаем:
$m^{-1} \cdot m^2 = m^{-1+2} = m^1 = m$.
Ответ: $m$.

б) Для умножения степеней с одинаковым основанием $x$ складываем их показатели, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Выполняем сложение показателей:
$x^{-2} \cdot x^{-3} = x^{-2+(-3)} = x^{-2-3} = x^{-5}$.
Ответ: $x^{-5}$.

в) При умножении степеней с одинаковым основанием $a$ их показатели складываются по правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Выполняем вычисления:
$a^{-10} \cdot a^{-10} = a^{-10+(-10)} = a^{-10-10} = a^{-20}$.
Ответ: $a^{-20}$.

г) Здесь также применяется правило умножения степеней с одинаковым основанием $b$: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Складываем показатели $0$ и $-4$:
$b^0 \cdot b^{-4} = b^{0+(-4)} = b^{-4}$.
Ответ: $b^{-4}$.

д) Чтобы разделить степени с одинаковым основанием $y$, необходимо из показателя делимого вычесть показатель делителя, согласно свойству $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Вычитаем из показателя $3$ показатель $-2$:
$y^3 : y^{-2} = y^{3-(-2)} = y^{3+2} = y^5$.
Ответ: $y^5$.

е) Для деления степеней с одинаковым основанием $x$ используем правило $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Вычитаем из показателя $-2$ показатель $-3$:
$x^{-2} : x^{-3} = x^{-2-(-3)} = x^{-2+3} = x^1 = x$.
Ответ: $x$.

ж) При делении степеней с одинаковым основанием $a$ их показатели вычитаются по правилу $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Выполняем вычитание показателей:
$a^{-10} : a^{-10} = a^{-10-(-10)} = a^{-10+10} = a^0 = 1$.
Ответ: $1$.

з) Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием $b$: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Вычитаем из показателя $3$ показатель $-4$:
$b^3 : b^{-4} = b^{3-(-4)} = b^{3+4} = b^7$.
Ответ: $b^7$.