Номер 900, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

900. Задача Бхаскары (Индия, XII в.). Докажите, что $\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}} = \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}.$

Для доказательства данного тождества возведем обе его части в квадрат. Так как обе части исходного равенства являются положительными числами, то равенство будет верным тогда и только тогда, когда равны их квадраты.

1. Возведем в квадрат правую часть равенства, $(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})$, используя формулу квадрата суммы трех слагаемых $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$:

$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 = (\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2+(\sqrt{5})^2 + 2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} + 2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{5} + 2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}$

$= 2+3+5 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$

$= 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$

2. Теперь рассмотрим подкоренное выражение в левой части равенства: $10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}$. Упростим слагаемые, содержащие корни, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

$\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$

$\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$

Подставив упрощенные значения, получим, что подкоренное выражение левой части равно:

$10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$

3. Сравнивая результаты, мы видим, что квадрат правой части равенства в точности совпадает с подкоренным выражением левой части:

$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 = 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15} = 10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей этого равенства, мы приходим к исходному тождеству:

$\sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}} = \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.