Номер 896, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (896–898):

896. а) $\sqrt{8} + 5\sqrt{9} - 3\sqrt{8} + 5\sqrt{7} + 2\sqrt{8} - 6\sqrt{7}$;

б) $7\sqrt{12} - 5\sqrt{27} + 8\sqrt{48} - 6\sqrt{75} + 2\sqrt{108}$;

в) $2\sqrt{3} - \sqrt{27} + 3\sqrt{12} - 2\sqrt{243}$;

г) $\sqrt{50} - 5\sqrt{8} + \sqrt{2} + \sqrt{128}$.

а) $\sqrt{8} + 5\sqrt{9} - 3\sqrt{8} + 5\sqrt{7} + 2\sqrt{8} - 6\sqrt{7}$

Для упрощения данного выражения необходимо сгруппировать и привести подобные слагаемые. Подобными являются слагаемые с одинаковыми подкоренными выражениями.

1. Сначала вычислим значение члена $5\sqrt{9}$. Поскольку $\sqrt{9} = 3$, то $5\sqrt{9} = 5 \cdot 3 = 15$.

2. Сгруппируем слагаемые с $\sqrt{8}$ и $\sqrt{7}$:

$(\sqrt{8} - 3\sqrt{8} + 2\sqrt{8}) + (5\sqrt{7} - 6\sqrt{7}) + 15$

3. Выполним действия в каждой группе:

Для членов с $\sqrt{8}$: $(1 - 3 + 2)\sqrt{8} = 0 \cdot \sqrt{8} = 0$.

Для членов с $\sqrt{7}$: $(5 - 6)\sqrt{7} = -1 \cdot \sqrt{7} = -\sqrt{7}$.

4. Соберем все части вместе:

$0 - \sqrt{7} + 15 = 15 - \sqrt{7}$.

Ответ: $15 - \sqrt{7}$.

б) $7\sqrt{12} - 5\sqrt{27} + 8\sqrt{48} - 6\sqrt{75} + 2\sqrt{108}$

Для упрощения этого выражения сначала вынесем множители из-под знака каждого корня, чтобы привести их к общему виду.

1. Упростим каждый корень:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$
$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$

2. Подставим упрощенные корни в исходное выражение:
$7(2\sqrt{3}) - 5(3\sqrt{3}) + 8(4\sqrt{3}) - 6(5\sqrt{3}) + 2(6\sqrt{3}) = 14\sqrt{3} - 15\sqrt{3} + 32\sqrt{3} - 30\sqrt{3} + 12\sqrt{3}$.

3. Сложим коэффициенты при общем множителе $\sqrt{3}$:
$(14 - 15 + 32 - 30 + 12)\sqrt{3} = (-1 + 32 - 30 + 12)\sqrt{3} = (31 - 30 + 12)\sqrt{3} = (1 + 12)\sqrt{3} = 13\sqrt{3}$.

Ответ: $13\sqrt{3}$.

в) $2\sqrt{3} - \sqrt{27} + 3\sqrt{12} - 2\sqrt{243}$

Упростим выражение, вынеся множители из-под знака корня, чтобы все слагаемые содержали $\sqrt{3}$.

1. Упростим каждый корень:
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = 9\sqrt{3}$

2. Подставим упрощенные значения в выражение:
$2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 3(2\sqrt{3}) - 2(9\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 18\sqrt{3}$.

3. Сложим коэффициенты при общем множителе $\sqrt{3}$:
$(2 - 3 + 6 - 18)\sqrt{3} = (-1 + 6 - 18)\sqrt{3} = (5 - 18)\sqrt{3} = -13\sqrt{3}$.

Ответ: $-13\sqrt{3}$.

г) $\sqrt{50} - 5\sqrt{8} + \sqrt{2} + \sqrt{128}$

Для упрощения данного выражения вынесем множители из-под знака корня, чтобы привести все слагаемые к общему виду с $\sqrt{2}$.

1. Упростим каждый корень:
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$

2. Подставим упрощенные корни в выражение:
$5\sqrt{2} - 5(2\sqrt{2}) + \sqrt{2} + 8\sqrt{2} = 5\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + \sqrt{2} + 8\sqrt{2}$.

3. Сложим коэффициенты при общем множителе $\sqrt{2}$:
$(5 - 10 + 1 + 8)\sqrt{2} = (-5 + 1 + 8)\sqrt{2} = (-4 + 8)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

Ответ: $4\sqrt{2}$.