Номер 892, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

892. Вынесите множитель из-под знака корня:

а) $\sqrt{8};$

б) $\sqrt{28};$

в) $\sqrt{320};$

г) $\sqrt{32};$

д) $\sqrt{175};$

е) $\sqrt{96};$

ж) $\sqrt{12\frac{1}{2}};$

з) $\sqrt{\frac{1}{0.75}}.$

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{8}$, представим подкоренное выражение 8 в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом. Наибольший такой множитель — это 4, так как $8 = 4 \cdot 2$.
Используя свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, получаем:
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
Ответ: $2\sqrt{2}$.

б) Для выражения $\sqrt{28}$ находим наибольший делитель, являющийся полным квадратом. Число 28 можно представить как произведение $4 \cdot 7$.
Применяем свойство корня из произведения:
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$.
Ответ: $2\sqrt{7}$.

в) Для выражения $\sqrt{320}$ найдем наибольший множитель-квадрат. Для этого можно разложить число 320 на множители. $320 = 32 \cdot 10 = 16 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 16 \cdot 4 \cdot 5 = 64 \cdot 5$. Наибольший множитель, являющийся полным квадратом, — это 64.
Выносим множитель из-под знака корня:
$\sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{5} = 8\sqrt{5}$.
Ответ: $8\sqrt{5}$.

г) Для выражения $\sqrt{32}$ наибольшим делителем, который является полным квадратом, является 16, так как $32 = 16 \cdot 2$.
Выносим множитель:
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Ответ: $4\sqrt{2}$.

д) В выражении $\sqrt{175}$ подкоренное число 175 оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 25 (которое является полным квадратом). $175 = 25 \cdot 7$.
Выносим множитель:
$\sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{7} = 5\sqrt{7}$.
Ответ: $5\sqrt{7}$.

е) Для выражения $\sqrt{96}$ находим наибольший множитель-квадрат. Разложим 96 на множители: $96 = 16 \cdot 6$. Число 16 является квадратом числа 4.
Выносим множитель:
$\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{6} = 4\sqrt{6}$.
Ответ: $4\sqrt{6}$.

ж) В выражении $\sqrt{12\frac{1}{2}}$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$12\frac{1}{2} = \frac{12 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{25}{2}$.
Теперь извлекаем корень, используя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$.
Чтобы упростить выражение (избавиться от иррациональности в знаменателе), умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\frac{5 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

з) В выражении $\sqrt{\frac{1}{0,75}}$ сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:
$0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.
Подставим это значение в исходное выражение и упростим подкоренное выражение:
$\sqrt{\frac{1}{0,75}} = \sqrt{\frac{1}{3/4}} = \sqrt{1 \cdot \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}}$.
Теперь воспользуемся свойством корня из дроби:
$\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.