Номер 887, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

887. a) $\frac{\sqrt[7]{3^5}}{\sqrt[7]{3^8}}$;

б) $\frac{\sqrt[4]{4^3}}{\sqrt[4]{4^5}}$;

B) $\frac{\sqrt[3]{4^5}}{\sqrt[3]{4^{-1}}}$;

г) $\frac{\sqrt[5]{9^2}}{\sqrt[5]{9^{-1}}}$.

а) Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством частного корней одинаковой степени: $ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $.

Применяя это свойство, получаем: $ \frac{\sqrt[7]{3^5}}{\sqrt[7]{3^8}} = \sqrt[7]{\frac{3^5}{3^8}} $

Далее, используем свойство частного степеней с одинаковым основанием $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $: $ \sqrt[7]{\frac{3^5}{3^8}} = \sqrt[7]{3^{5-8}} = \sqrt[7]{3^{-3}} $

Используя свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, перепишем выражение: $ \sqrt[7]{3^{-3}} = \sqrt[7]{\frac{1}{3^3}} = \frac{1}{\sqrt[7]{3^3}} $

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[7]{3^4} $: $ \frac{1}{\sqrt[7]{3^3}} \cdot \frac{\sqrt[7]{3^4}}{\sqrt[7]{3^4}} = \frac{\sqrt[7]{3^4}}{\sqrt[7]{3^3 \cdot 3^4}} = \frac{\sqrt[7]{3^4}}{\sqrt[7]{3^7}} = \frac{\sqrt[7]{81}}{3} $

Ответ: $ \frac{\sqrt[7]{81}}{3} $

б) Применим свойство частного корней одинаковой степени $ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $: $ \frac{\sqrt[4]{4^3}}{\sqrt[4]{4^5}} = \sqrt[4]{\frac{4^3}{4^5}} $

Упростим выражение под корнем, используя свойство степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $: $ \sqrt[4]{\frac{4^3}{4^5}} = \sqrt[4]{4^{3-5}} = \sqrt[4]{4^{-2}} $

Представим корень в виде степени с рациональным показателем $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $: $ \sqrt[4]{4^{-2}} = 4^{-\frac{2}{4}} = 4^{-\frac{1}{2}} $

Вычислим значение выражения: $ 4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

в) Используем свойство частного корней $ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $: $ \frac{\sqrt[3]{4^5}}{\sqrt[3]{4^{-1}}} = \sqrt[3]{\frac{4^5}{4^{-1}}} $

Упростим подкоренное выражение, используя правило деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $: $ \sqrt[3]{\frac{4^5}{4^{-1}}} = \sqrt[3]{4^{5 - (-1)}} = \sqrt[3]{4^{5+1}} = \sqrt[3]{4^6} $

Для извлечения корня представим его в виде степени с дробным показателем: $ \sqrt[3]{4^6} = 4^{\frac{6}{3}} = 4^2 = 16 $

Ответ: $ 16 $

г) Снова применяем свойство частного корней: $ \frac{\sqrt[5]{9^2}}{\sqrt[5]{9^{-1}}} = \sqrt[5]{\frac{9^2}{9^{-1}}} $

Упрощаем выражение под корнем: $ \sqrt[5]{\frac{9^2}{9^{-1}}} = \sqrt[5]{9^{2 - (-1)}} = \sqrt[5]{9^{2+1}} = \sqrt[5]{9^3} $

Для дальнейшего упрощения представим основание $ 9 $ как степень числа $ 3 $, то есть $ 9=3^2 $: $ \sqrt[5]{9^3} = \sqrt[5]{(3^2)^3} = \sqrt[5]{3^{2 \cdot 3}} = \sqrt[5]{3^6} $

Чтобы вынести множитель из-под знака корня, представим $ 3^6 $ в виде $ 3^5 \cdot 3^1 $: $ \sqrt[5]{3^6} = \sqrt[5]{3^5 \cdot 3} = \sqrt[5]{3^5} \cdot \sqrt[5]{3} = 3\sqrt[5]{3} $

Ответ: $ 3\sqrt[5]{3} $