Номер 883, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (883–888):

883. a) $\sqrt[3]{8^{-3}}$;

б) $\sqrt[5]{4^{-5}}$;

в) $\sqrt[4]{16^{-5}}$;

г) $\sqrt[6]{64^{-3}}$;

д) $\sqrt[10]{3^{-5}}$;

е) $\sqrt[12]{4^{-6}}$;

ж) $\sqrt[6]{12^{-3}}$;

з) $\sqrt[8]{3^{-4}}$.

а) Для упрощения выражения воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
$\sqrt[3]{8^{-3}} = 8^{\frac{-3}{3}} = 8^{-1}$
Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$8^{-1} = \frac{1}{8}$
Ответ: $\frac{1}{8}$

б) Аналогично предыдущему пункту, применим свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
$\sqrt[5]{4^{-5}} = 4^{\frac{-5}{5}} = 4^{-1} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

в) Представим основание степени 16 как $2^4$ и воспользуемся свойствами степеней.
$\sqrt[4]{16^{-5}} = \sqrt[4]{(2^4)^{-5}} = \sqrt[4]{2^{4 \cdot (-5)}} = \sqrt[4]{2^{-20}}$
Теперь применим свойство корня:
$\sqrt[4]{2^{-20}} = 2^{\frac{-20}{4}} = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$
Ответ: $\frac{1}{32}$

г) Представим основание степени 64 как $2^6$.
$\sqrt[6]{64^{-3}} = \sqrt[6]{(2^6)^{-3}} = \sqrt[6]{2^{6 \cdot (-3)}} = \sqrt[6]{2^{-18}}$
Применим свойство корня:
$\sqrt[6]{2^{-18}} = 2^{\frac{-18}{6}} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
Ответ: $\frac{1}{8}$

д) Используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
$\sqrt[10]{3^{-5}} = 3^{\frac{-5}{10}} = 3^{-\frac{1}{2}}$
Перепишем выражение, используя свойства степени и корня:
$3^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

е) Применим свойство корня и преобразуем выражение.
$\sqrt[12]{4^{-6}} = 4^{\frac{-6}{12}} = 4^{-\frac{1}{2}}$
Перепишем в виде корня:
$4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

ж) Упростим выражение, используя свойство корня.
$\sqrt[6]{12^{-3}} = 12^{\frac{-3}{6}} = 12^{-\frac{1}{2}}$
Перепишем в виде дроби с корнем и упростим его:
$12^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{12^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{\sqrt{4 \cdot 3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$

з) Применим свойство корня.
$\sqrt[8]{3^{-4}} = 3^{\frac{-4}{8}} = 3^{-\frac{1}{2}}$
Перепишем выражение и избавимся от иррациональности в знаменателе:
$3^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$