Номер 877, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

877. Найдите целое число — значение выражения:

a) $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{4 - 2\sqrt{3}};$

б) $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}} - \sqrt{8 + 2\sqrt{7}};$

в) $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} + \sqrt{14 - 6\sqrt{5}};$

г) $\sqrt{7 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{10 - 4\sqrt{6}}.$

а) Для решения воспользуемся методом выделения полного квадрата под знаком корня, используя формулы квадрата суммы и разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. Из этого следует, что $\sqrt{X \pm Y} = \sqrt{a^2+b^2 \pm 2ab} = \sqrt{(a \pm b)^2} = |a \pm b|$.

1. Упростим выражение $\sqrt{7-4\sqrt{3}}$. Мы ищем числа $a$ и $b$, для которых $a^2+b^2=7$ и $2ab=4\sqrt{3}$. Из второго уравнения получаем $ab=2\sqrt{3}$. Подбором находим $a=2$ и $b=\sqrt{3}$. Проверяем: $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4+3=7$. Условие выполняется. Значит, $7-4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2$. Тогда $\sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = |2-\sqrt{3}|$. Так как $2=\sqrt{4}$, а $\sqrt{4}>\sqrt{3}$, то $2-\sqrt{3}>0$, и модуль равен $2-\sqrt{3}$.

2. Упростим выражение $\sqrt{4-2\sqrt{3}}$. Ищем числа $a$ и $b$, для которых $a^2+b^2=4$ и $2ab=2\sqrt{3}$, то есть $ab=\sqrt{3}$. Подходят $a=\sqrt{3}$ и $b=1$. Проверяем: $a^2+b^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3+1=4$. Значит, $4-2\sqrt{3} = (\sqrt{3}-1)^2$. Тогда $\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = |\sqrt{3}-1|$. Так как $\sqrt{3}>1$, то $\sqrt{3}-1>0$, и модуль равен $\sqrt{3}-1$.

3. Вычислим значение исходного выражения: $\sqrt{7-4\sqrt{3}} + \sqrt{4-2\sqrt{3}} = (2-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}-1) = 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1 = 1$.

Ответ: 1

б) Упростим каждый член выражения $\sqrt{11-4\sqrt{7}} - \sqrt{8+2\sqrt{7}}$ по отдельности.

1. Для $\sqrt{11-4\sqrt{7}}$, ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=11$ и $2ab=4\sqrt{7}$ ($ab=2\sqrt{7}$). Подходят числа $a=\sqrt{7}$ и $b=2$. Проверяем: $a^2+b^2 = (\sqrt{7})^2+2^2 = 7+4=11$. Следовательно, $11-4\sqrt{7} = (\sqrt{7}-2)^2$. Тогда $\sqrt{11-4\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}-2)^2} = |\sqrt{7}-2|$. Так как $\sqrt{7}>\sqrt{4}=2$, то $\sqrt{7}-2>0$, и модуль равен $\sqrt{7}-2$.

2. Для $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$, ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=8$ и $2ab=2\sqrt{7}$ ($ab=\sqrt{7}$). Подходят числа $a=\sqrt{7}$ и $b=1$. Проверяем: $a^2+b^2 = (\sqrt{7})^2+1^2=7+1=8$. Следовательно, $8+2\sqrt{7} = (\sqrt{7}+1)^2$. Тогда $\sqrt{8+2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} = |\sqrt{7}+1| = \sqrt{7}+1$.

3. Вычислим значение исходного выражения: $(\sqrt{7}-2) - (\sqrt{7}+1) = \sqrt{7}-2-\sqrt{7}-1 = -3$.

Ответ: -3

в) Упростим каждый член выражения $\sqrt{9-4\sqrt{5}} + \sqrt{14-6\sqrt{5}}$ по отдельности.

1. Для $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$, ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=9$ и $2ab=4\sqrt{5}$ ($ab=2\sqrt{5}$). Подходят числа $a=\sqrt{5}$ и $b=2$. Проверяем: $a^2+b^2 = (\sqrt{5})^2+2^2 = 5+4=9$. Следовательно, $9-4\sqrt{5} = (\sqrt{5}-2)^2$. Тогда $\sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = |\sqrt{5}-2|$. Так как $\sqrt{5}>\sqrt{4}=2$, то $\sqrt{5}-2>0$, и модуль равен $\sqrt{5}-2$.

2. Для $\sqrt{14-6\sqrt{5}}$, ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=14$ и $2ab=6\sqrt{5}$ ($ab=3\sqrt{5}$). Подходят числа $a=3$ и $b=\sqrt{5}$. Проверяем: $a^2+b^2 = 3^2+(\sqrt{5})^2=9+5=14$. Следовательно, $14-6\sqrt{5} = (3-\sqrt{5})^2$. Тогда $\sqrt{14-6\sqrt{5}} = \sqrt{(3-\sqrt{5})^2} = |3-\sqrt{5}|$. Так как $3=\sqrt{9}>\sqrt{5}$, то $3-\sqrt{5}>0$, и модуль равен $3-\sqrt{5}$.

3. Вычислим значение исходного выражения: $(\sqrt{5}-2) + (3-\sqrt{5}) = \sqrt{5}-2+3-\sqrt{5} = 1$.

Ответ: 1

г) Упростим каждый член выражения $\sqrt{7+2\sqrt{6}} - \sqrt{10-4\sqrt{6}}$ по отдельности.

1. Для $\sqrt{7+2\sqrt{6}}$, ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=7$ и $2ab=2\sqrt{6}$ ($ab=\sqrt{6}$). Подходят числа $a=\sqrt{6}$ и $b=1$. Проверяем: $a^2+b^2 = (\sqrt{6})^2+1^2 = 6+1=7$. Следовательно, $7+2\sqrt{6} = (\sqrt{6}+1)^2$. Тогда $\sqrt{7+2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{6}+1)^2} = |\sqrt{6}+1| = \sqrt{6}+1$.

2. Для $\sqrt{10-4\sqrt{6}}$, ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=10$ и $2ab=4\sqrt{6}$ ($ab=2\sqrt{6}$). Подходят числа $a=\sqrt{6}$ и $b=2$. Проверяем: $a^2+b^2 = (\sqrt{6})^2+2^2=6+4=10$. Следовательно, $10-4\sqrt{6} = (\sqrt{6}-2)^2$. Тогда $\sqrt{10-4\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{6}-2)^2} = |\sqrt{6}-2|$. Так как $\sqrt{6}>\sqrt{4}=2$, то $\sqrt{6}-2>0$, и модуль равен $\sqrt{6}-2$.

3. Вычислим значение исходного выражения: $(\sqrt{6}+1) - (\sqrt{6}-2) = \sqrt{6}+1-\sqrt{6}+2 = 3$.

Ответ: 3