Номер 873, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

873. Докажите, что если число при делении на 9 даёт остаток 3 или 6, то куб этого числа делится на 9. Делится ли куб этого числа на 27?

Докажите, что если число при делении на 9 даёт остаток 3 или 6, то куб этого числа делится на 9.

Пусть заданное число — это $n$. По условию, при делении $n$ на 9 остаток равен 3 или 6. Рассмотрим оба этих случая.

Случай 1: Остаток равен 3.

В этом случае число $n$ можно представить в виде $n = 9k + 3$, где $k$ — некоторое целое число. Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$n = 3(3k + 1)$

Теперь возведем это выражение в куб, чтобы найти $n^3$:

$n^3 = (3(3k + 1))^3 = 3^3 \cdot (3k + 1)^3 = 27(3k + 1)^3$

Мы знаем, что 27 делится на 9 ($27 = 9 \cdot 3$). Следовательно, выражение $27(3k + 1)^3$ также делится на 9. Мы можем записать его как $9 \cdot [3(3k + 1)^3]$. Так как $k$ — целое число, то выражение в квадратных скобках также является целым числом. Значит, $n^3$ делится на 9.

Случай 2: Остаток равен 6.

В этом случае число $n$ можно представить в виде $n = 9k + 6$, где $k$ — некоторое целое число. Снова вынесем общий множитель 3 за скобки:

$n = 3(3k + 2)$

Возведем это выражение в куб:

$n^3 = (3(3k + 2))^3 = 3^3 \cdot (3k + 2)^3 = 27(3k + 2)^3$

Аналогично первому случаю, поскольку 27 делится на 9, выражение $27(3k + 2)^3$ также делится на 9.

Мы доказали, что в обоих возможных случаях куб числа делится на 9.
Ответ: утверждение доказано.

Делится ли куб этого числа на 27?

Да, делится. Обратимся к выражениям для $n^3$, которые мы получили при решении первой части задачи.

В первом случае (когда остаток от деления на 9 равен 3), мы получили: $n^3 = 27(3k + 1)^3$.
Это выражение является произведением числа 27 и целого числа $(3k + 1)^3$, следовательно, оно делится на 27 без остатка.

Во втором случае (когда остаток от деления на 9 равен 6), мы получили: $n^3 = 27(3k + 2)^3$.
Это выражение также является произведением числа 27 и целого числа $(3k + 2)^3$, а значит, оно тоже делится на 27 без остатка.

Таким образом, в обоих случаях куб этого числа делится на 27.
Ответ: да, делится.