Номер 867, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

867. Расшифруйте равенство $** + *** = ****$, если каждое из слагаемых и сумма не изменяются при чтении их справа налево.

Данное равенство представляет собой ребус, в котором за звёздочками скрываются цифры. Обозначим его как $** + *** = ****$. Согласно условию, оба слагаемых и сумма являются палиндромами, то есть числами, которые читаются одинаково слева направо и справа налево.

Исходя из этого, представим равенство в виде $AA + BCB = DEED$, где $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ — это цифры. Поскольку $AA$ — двузначное число, $BCB$ — трёхзначное, а $DEED$ — четырёхзначное, цифры $A$, $B$ и $D$ не могут быть равны нулю.

Рассмотрим величину слагаемых. Максимально возможное значение для первого слагаемого — $99$, а для второго — $999$. Их сумма равна $99 + 999 = 1098$. Это означает, что результат сложения (сумма) — это четырёхзначное число, которое не может начинаться с цифры большей, чем $1$. Следовательно, первая цифра суммы $D$ равна $1$. Так как сумма является палиндромом $DEED$, её последняя цифра также равна $1$. Сумма имеет вид $1EE1$.

Теперь проанализируем сложение в столбик, начиная с разряда единиц. Сумма последних цифр слагаемых ($A$ и $B$) должна давать число, оканчивающееся на последнюю цифру результата ($D=1$). Таким образом, $A + B = 1$ или $A + B = 11$. Поскольку $A$ и $B$ — первые цифры своих чисел, они не могут быть нулём ($A \ge 1$, $B \ge 1$), поэтому их сумма не может быть равна $1$. Значит, единственно верный вариант — $A + B = 11$. При этом из разряда единиц в разряд десятков переходит $1$.

Перейдём к разряду сотен. Второе слагаемое имеет цифру $B$ в разряде сотен. К ней прибавляется возможный перенос из разряда десятков (обозначим его $c_{10}$, он может быть $0$ или $1$). Результатом сложения в разряде сотен является цифра $E$ и перенос $1$ в разряд тысяч (поскольку $D=1$). Это можно записать в виде уравнения: $B + c_{10} = E + 10$. Левая часть этого уравнения ($B + c_{10}$) может быть максимальна, когда $B=9$ и $c_{10}=1$, что даёт $10$. Правая часть ($E+10$) минимальна, когда $E=0$, что также даёт $10$. Единственное возможное решение этого уравнения достигается, когда обе части равны $10$. Отсюда следует, что $E=0$, а $B+c_{10}=10$. Так как $B$ — это цифра (не более $9$), то перенос $c_{10}$ должен быть равен $1$, и тогда $B=9$.

Теперь, зная значения некоторых цифр, мы можем найти оставшиеся. Из уравнения $A+B=11$ и зная, что $B=9$, находим $A = 11 - 9 = 2$. Осталось найти цифру $C$. Рассмотрим разряд десятков. Сумма цифр $A$ и $C$ плюс перенос $1$ из разряда единиц даёт в результате цифру $E$ и перенос $c_{10}=1$ в разряд сотен. Запишем это в виде уравнения: $A + C + 1 = E + 10 \cdot c_{10}$. Подставим известные нам значения $A=2$, $E=0$ и $c_{10}=1$: $2 + C + 1 = 0 + 10 \cdot 1$ $3 + C = 10$ $C = 7$

Таким образом, мы расшифровали все цифры: $A=2$, $B=9$, $C=7$, $D=1$, $E=0$. Восстановим исходное равенство: Первое слагаемое-палиндром $AA$ — это $22$. Второе слагаемое-палиндром $BCB$ — это $979$. Сумма-палиндром $DEED$ — это $1001$. Проверим вычисление: $22 + 979 = 1001$. Равенство выполняется.

Ответ: $22 + 979 = 1001$.