Номер 866, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

866. Найдите наименьшее натуральное число, которое при умножении на 2 становится квадратом, а при умножении на 3 – кубом целого числа.

Пусть искомое наименьшее натуральное число равно $N$.

Согласно условию, при умножении $N$ на 2 получается квадрат целого числа. Обозначим это как:

$2N = a^2$, где $a$ — целое число.

Для того чтобы число было полным квадратом, все показатели степеней в его разложении на простые множители должны быть четными. Пусть каноническое разложение числа $N$ на простые множители имеет вид $N = 2^x \cdot 3^y \cdot p_1^{z_1} \cdot p_2^{z_2} \cdot \dots$, где $p_i$ — простые числа, отличные от 2 и 3.

Тогда $2N = 2^{x+1} \cdot 3^y \cdot p_1^{z_1} \cdot p_2^{z_2} \cdot \dots$. Для того чтобы это число было квадратом, необходимо, чтобы все показатели степеней были четными. Это означает, что:

• показатель $x+1$ должен быть четным, следовательно, $x$ должен быть нечетным;
• показатель $y$ должен быть четным;
• все остальные показатели $z_i$ должны быть четными.

Также, по второму условию, при умножении $N$ на 3 получается куб целого числа. Обозначим это как:

$3N = b^3$, где $b$ — целое число.

Для того чтобы число было полным кубом, все показатели степеней в его разложении на простые множители должны быть кратны 3.

$3N = 2^x \cdot 3^{y+1} \cdot p_1^{z_1} \cdot p_2^{z_2} \cdot \dots$. Для того чтобы это число было кубом, необходимо, чтобы все показатели степеней делились на 3. Это означает, что:

• показатель $x$ должен быть кратен 3;
• показатель $y+1$ должен быть кратен 3;
• все остальные показатели $z_i$ должны быть кратны 3.

Теперь найдем наименьшие целые неотрицательные значения для показателей $x$, $y$ и $z_i$, удовлетворяющие всем условиям.

1. Для показателя $x$ (степень двойки): - $x$ должен быть нечетным (1, 3, 5, ...). - $x$ должен быть кратен 3 (3, 6, 9, ...). Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x=3$.

2. Для показателя $y$ (степень тройки): - $y$ должен быть четным (0, 2, 4, ...). - $y+1$ должен быть кратен 3. Это значит, что $y$ при делении на 3 дает остаток 2 (2, 5, 8, ...). Наименьшее неотрицательное целое число, удовлетворяющее обоим условиям, это $y=2$.

3. Для показателей $z_i$ (степени других простых множителей): - $z_i$ должны быть четными. - $z_i$ должны быть кратны 3. Наименьшее неотрицательное целое число, которое является и четным, и кратным 3, это 0. Следовательно, все $z_i = 0$. Это означает, что в разложении числа $N$ нет других простых множителей, кроме 2 и 3.

Собираем число $N$ из найденных наименьших показателей:

$N = 2^x \cdot 3^y = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Проверим найденное число:

• $2 \cdot 72 = 144 = 12^2$. Это квадрат целого числа.
• $3 \cdot 72 = 216 = 6^3$. Это куб целого числа.

Таким образом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условиям задачи, равно 72.

Ответ: 72.