Номер 872, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Доказываем (872—874).

872. Докажите, что если $A + B + C = 0$, то $A^3 + B^3 + C^3 = 3ABC$.

Для доказательства данного утверждения, что если $A + B + C = 0$, то $A^3 + B^3 + C^3 = 3ABC$, можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Прямое алгебраическое преобразование

Начнем с данного нам условия: $A + B + C = 0$.

Из этого равенства выразим одну из переменных, например, переменную $C$:

$C = -(A + B)$

Теперь подставим это выражение в левую часть доказываемого тождества $A^3 + B^3 + C^3$:

$A^3 + B^3 + C^3 = A^3 + B^3 + (-(A + B))^3$

Используя свойство степени $(-x)^3 = -x^3$, получаем:

$A^3 + B^3 - (A + B)^3$

Раскроем скобки, применив формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$:

$A^3 + B^3 - (A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3)$

Упростим полученное выражение, приведя подобные слагаемые:

$A^3 + B^3 - A^3 - 3A^2B - 3AB^2 - B^3 = -3A^2B - 3AB^2$

Вынесем за скобки общий множитель $-3AB$:

$-3AB(A + B)$

Из исходного условия $A + B + C = 0$ следует, что $A + B = -C$. Сделаем замену в последнем выражении:

$-3AB(-C) = 3ABC$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства в правую, что и требовалось доказать.

Способ 2: Использование тождества суммы трех кубов

Этот способ основан на известном алгебраическом тождестве, связывающем сумму кубов трех чисел с их произведением:

$A^3 + B^3 + C^3 - 3ABC = (A + B + C)(A^2 + B^2 + C^2 - AB - BC - CA)$

По условию задачи нам дано, что $A + B + C = 0$. Подставим это значение в правую часть тождества:

$A^3 + B^3 + C^3 - 3ABC = (0) \cdot (A^2 + B^2 + C^2 - AB - BC - CA)$

Поскольку произведение любого выражения на ноль равно нулю, правая часть уравнения обращается в ноль:

$A^3 + B^3 + C^3 - 3ABC = 0$

Перенесем член $-3ABC$ в правую часть уравнения, изменив его знак:

$A^3 + B^3 + C^3 = 3ABC$

Это полностью доказывает исходное утверждение.

Ответ: Утверждение доказано. Из условия $A + B + C = 0$ действительно следует, что $A^3 + B^3 + C^3 = 3ABC$.