Номер 878, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

878. Упростите выражение:

а) $\sqrt{7 + 2\sqrt{6}} + \sqrt{7 - 2\sqrt{6}}$;

б) $\sqrt{11 - 2\sqrt{10}} + \sqrt{11 + 2\sqrt{10}}$;

в) $\sqrt{8 + \sqrt{28}} + \sqrt{8 - \sqrt{28}}$;

г) $\sqrt{9 - \sqrt{17}} + \sqrt{9 + \sqrt{17}}$.

а) Обозначим исходное выражение через $x$:

$x = \sqrt{7+2\sqrt{6}} + \sqrt{7-2\sqrt{6}}$

Поскольку оба слагаемых в выражении являются положительными числами, то их сумма $x$ также будет положительной, то есть $x > 0$. Возведем обе части равенства в квадрат:

$x^2 = (\sqrt{7+2\sqrt{6}} + \sqrt{7-2\sqrt{6}})^2$

Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$x^2 = (\sqrt{7+2\sqrt{6}})^2 + 2 \cdot \sqrt{7+2\sqrt{6}} \cdot \sqrt{7-2\sqrt{6}} + (\sqrt{7-2\sqrt{6}})^2$

$x^2 = (7+2\sqrt{6}) + 2\sqrt{(7+2\sqrt{6})(7-2\sqrt{6})} + (7-2\sqrt{6})$

Упростим полученное выражение. Слагаемые $2\sqrt{6}$ и $-2\sqrt{6}$ взаимно уничтожаются. Для упрощения подкоренного выражения воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$x^2 = 7 + 7 + 2\sqrt{7^2 - (2\sqrt{6})^2}$

$x^2 = 14 + 2\sqrt{49 - 4 \cdot 6}$

$x^2 = 14 + 2\sqrt{49 - 24}$

$x^2 = 14 + 2\sqrt{25}$

$x^2 = 14 + 2 \cdot 5$

$x^2 = 14 + 10 = 24$

Так как $x > 0$, извлекаем квадратный корень из 24:

$x = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

Ответ: $2\sqrt{6}$

б) Обозначим исходное выражение через $x$:

$x = \sqrt{11-2\sqrt{10}} + \sqrt{11+2\sqrt{10}}$

Поскольку оба слагаемых положительны, то $x > 0$. Возведем обе части равенства в квадрат:

$x^2 = (\sqrt{11-2\sqrt{10}} + \sqrt{11+2\sqrt{10}})^2$

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$x^2 = (\sqrt{11-2\sqrt{10}})^2 + 2 \cdot \sqrt{11-2\sqrt{10}} \cdot \sqrt{11+2\sqrt{10}} + (\sqrt{11+2\sqrt{10}})^2$

$x^2 = (11-2\sqrt{10}) + 2\sqrt{(11-2\sqrt{10})(11+2\sqrt{10})} + (11+2\sqrt{10})$

Слагаемые с $2\sqrt{10}$ взаимно уничтожаются. Подкоренное выражение во втором слагаемом упрощаем по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$x^2 = 11 + 11 + 2\sqrt{11^2 - (2\sqrt{10})^2}$

$x^2 = 22 + 2\sqrt{121 - 4 \cdot 10}$

$x^2 = 22 + 2\sqrt{121 - 40}$

$x^2 = 22 + 2\sqrt{81}$

$x^2 = 22 + 2 \cdot 9$

$x^2 = 22 + 18 = 40$

Так как $x > 0$, извлекаем квадратный корень из 40:

$x = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$

Ответ: $2\sqrt{10}$

в) Обозначим исходное выражение через $x$:

$x = \sqrt{8+\sqrt{28}} + \sqrt{8-\sqrt{28}}$

Поскольку $8 = \sqrt{64}$ и $\sqrt{64} > \sqrt{28}$, то $8-\sqrt{28} > 0$, следовательно, оба слагаемых в выражении положительны, и их сумма $x > 0$. Возведем обе части равенства в квадрат:

$x^2 = (\sqrt{8+\sqrt{28}} + \sqrt{8-\sqrt{28}})^2$

Применим формулу квадрата суммы:

$x^2 = (\sqrt{8+\sqrt{28}})^2 + 2 \cdot \sqrt{8+\sqrt{28}} \cdot \sqrt{8-\sqrt{28}} + (\sqrt{8-\sqrt{28}})^2$

$x^2 = (8+\sqrt{28}) + 2\sqrt{(8+\sqrt{28})(8-\sqrt{28})} + (8-\sqrt{28})$

Слагаемые с $\sqrt{28}$ взаимно уничтожаются. Применим формулу разности квадратов:

$x^2 = 8 + 8 + 2\sqrt{8^2 - (\sqrt{28})^2}$

$x^2 = 16 + 2\sqrt{64 - 28}$

$x^2 = 16 + 2\sqrt{36}$

$x^2 = 16 + 2 \cdot 6$

$x^2 = 16 + 12 = 28$

Так как $x > 0$, извлекаем квадратный корень из 28:

$x = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

Ответ: $2\sqrt{7}$

г) Обозначим исходное выражение через $x$:

$x = \sqrt{9-\sqrt{17}} + \sqrt{9+\sqrt{17}}$

Поскольку $9 = \sqrt{81}$ и $\sqrt{81} > \sqrt{17}$, то $9-\sqrt{17} > 0$, следовательно, оба слагаемых положительны, и их сумма $x > 0$. Возведем обе части равенства в квадрат:

$x^2 = (\sqrt{9-\sqrt{17}} + \sqrt{9+\sqrt{17}})^2$

Применим формулу квадрата суммы:

$x^2 = (\sqrt{9-\sqrt{17}})^2 + 2 \cdot \sqrt{9-\sqrt{17}} \cdot \sqrt{9+\sqrt{17}} + (\sqrt{9+\sqrt{17}})^2$

$x^2 = (9-\sqrt{17}) + 2\sqrt{(9-\sqrt{17})(9+\sqrt{17})} + (9+\sqrt{17})$

Слагаемые с $\sqrt{17}$ взаимно уничтожаются. Применим формулу разности квадратов:

$x^2 = 9 + 9 + 2\sqrt{9^2 - (\sqrt{17})^2}$

$x^2 = 18 + 2\sqrt{81 - 17}$

$x^2 = 18 + 2\sqrt{64}$

$x^2 = 18 + 2 \cdot 8$

$x^2 = 18 + 16 = 34$

Так как $x > 0$, извлекаем квадратный корень из 34:

$x = \sqrt{34}$

Ответ: $\sqrt{34}$