Номер 880, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

880. Упростите выражение:

a) $ \sqrt{5} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{5}} : \sqrt[4]{\sqrt{5}}\right)^2 $;

б) $ \left(\sqrt[3]{16\sqrt[4]{8\sqrt{2}}}\right)^2 \cdot \sqrt[3]{32\sqrt[4]{2}} \cdot \sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt[3]{3}}} $.

а)

Для упрощения выражения $ \sqrt{\sqrt{5}} \cdot (\sqrt[3]{\sqrt{5}} : \sqrt{\sqrt[4]{5}})^2 $ представим все корни в виде степеней с дробными показателями, используя свойства $ \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a} = a^{\frac{1}{nm}} $, $ a^p : a^q = a^{p-q} $, $ a^p \cdot a^q = a^{p+q} $ и $ (a^p)^q = a^{pq} $.

1. Упростим каждый компонент выражения по отдельности:

• $ \sqrt{\sqrt{5}} = \sqrt[2 \cdot 2]{5} = \sqrt[4]{5} = 5^{\frac{1}{4}} $
• $ \sqrt[3]{\sqrt{5}} = \sqrt[3 \cdot 2]{5} = \sqrt[6]{5} = 5^{\frac{1}{6}} $
• $ \sqrt{\sqrt[4]{5}} = \sqrt[2 \cdot 4]{5} = \sqrt[8]{5} = 5^{\frac{1}{8}} $

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ 5^{\frac{1}{4}} \cdot (5^{\frac{1}{6}} : 5^{\frac{1}{8}})^2 $

3. Выполним операцию деления в скобках, вычитая показатели степеней:

$ 5^{\frac{1}{6}} : 5^{\frac{1}{8}} = 5^{\frac{1}{6} - \frac{1}{8}} $

Приводим дроби к общему знаменателю 24:

$ \frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{4}{24} - \frac{3}{24} = \frac{1}{24} $

Таким образом, выражение в скобках равно $ 5^{\frac{1}{24}} $.

4. Возведем результат в квадрат:

$ (5^{\frac{1}{24}})^2 = 5^{\frac{1}{24} \cdot 2} = 5^{\frac{2}{24}} = 5^{\frac{1}{12}} $

5. Теперь выполним умножение, складывая показатели степеней:

$ 5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{12}} = 5^{\frac{1}{4} + \frac{1}{12}} $

Приводим дроби к общему знаменателю 12:

$ \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $

6. Итоговый результат: $ 5^{\frac{1}{3}} $, что в виде корня записывается как $ \sqrt[3]{5} $.

Ответ: $ \sqrt[3]{5} $

б)

Для упрощения выражения $ (\sqrt[3]{16\sqrt[4]{8\sqrt{2}}})^2 \cdot \sqrt[3]{32\sqrt[4]{2}} \cdot \sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt[3]{3}}} $ представим все числа в виде степеней и последовательно упростим каждый множитель.

1. Упростим первый множитель $ (\sqrt[3]{16\sqrt[4]{8\sqrt{2}}})^2 $:

• $ 8\sqrt{2} = 2^3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{3+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{7}{2}} $
• $ 16\sqrt[4]{8\sqrt{2}} = 16 \cdot (2^{\frac{7}{2}})^{\frac{1}{4}} = 2^4 \cdot 2^{\frac{7}{8}} = 2^{4+\frac{7}{8}} = 2^{\frac{39}{8}} $
• $ \sqrt[3]{2^{\frac{39}{8}}} = (2^{\frac{39}{8}})^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{39}{24}} = 2^{\frac{13}{8}} $
• $ (2^{\frac{13}{8}})^2 = 2^{\frac{13}{8} \cdot 2} = 2^{\frac{26}{8}} = 2^{\frac{13}{4}} $

2. Упростим второй множитель $ \sqrt[3]{32\sqrt[4]{2}} $:

• $ 32\sqrt[4]{2} = 2^5 \cdot 2^{\frac{1}{4}} = 2^{5+\frac{1}{4}} = 2^{\frac{21}{4}} $
• $ \sqrt[3]{2^{\frac{21}{4}}} = (2^{\frac{21}{4}})^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{21}{12}} = 2^{\frac{7}{4}} $

3. Упростим третий множитель $ \sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt[3]{3}}} $:

• $ 4\sqrt[3]{3} = 2^2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} $
• $ 2\sqrt[4]{4\sqrt[3]{3}} = 2 \cdot (2^2 \cdot 3^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{4}} = 2^1 \cdot 2^{\frac{2}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{12}} = 2^{1+\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{12}} = 2^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{12}} $
• $ \sqrt{2^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{12}}} = (2^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} \cdot (3^{\frac{1}{12}})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{24}} $

4. Перемножим все упрощенные множители:

$ 2^{\frac{13}{4}} \cdot 2^{\frac{7}{4}} \cdot (2^{\frac{3}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{24}}) $

Сгруппируем степени с одинаковым основанием:

$ (2^{\frac{13}{4}} \cdot 2^{\frac{7}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}}) \cdot 3^{\frac{1}{24}} = 2^{\frac{13}{4} + \frac{7}{4} + \frac{3}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{24}} = 2^{\frac{13+7+3}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{24}} = 2^{\frac{23}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{24}} $

Это выражение можно оставить в таком виде или представить в виде корней:

$ 2^{\frac{23}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{24}} = 2^{5\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[24]{3} = 32 \cdot 2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[24]{3} = 32\sqrt[4]{2^3}\sqrt[24]{3} = 32\sqrt[4]{8}\sqrt[24]{3} $

Ответ: $ 2^{\frac{23}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{24}} $ или $ 32\sqrt[4]{8}\sqrt[24]{3} $