Номер 882, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

882. Вычислите:

а) $\left(\frac{15}{\sqrt{6}-1} + \frac{4}{2-\sqrt{6}}\right) \cdot (\sqrt{6}+1);$

б) $\left(\frac{4 \cdot 2^2 + 9 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{-2}}{8^0 + \left(\frac{1}{2}\right)^0 \cdot \left(\frac{1}{24}\right)^{-1}} + (1-3^0)^2\right).$

а) $(\frac{15}{\sqrt{6}-1} + \frac{4}{2-\sqrt{6}}) \cdot (\sqrt{6}+1)$

1. Упростим выражение в скобках. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателях каждой дроби, домножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение.

Для первой дроби $\frac{15}{\sqrt{6}-1}$ сопряженным выражением является $(\sqrt{6}+1)$:

$\frac{15}{\sqrt{6}-1} = \frac{15 \cdot (\sqrt{6}+1)}{(\sqrt{6}-1) \cdot (\sqrt{6}+1)} = \frac{15(\sqrt{6}+1)}{(\sqrt{6})^2 - 1^2} = \frac{15(\sqrt{6}+1)}{6-1} = \frac{15(\sqrt{6}+1)}{5} = 3(\sqrt{6}+1) = 3\sqrt{6} + 3$

Для второй дроби $\frac{4}{2-\sqrt{6}}$ сопряженным выражением является $(2+\sqrt{6})$. Заметим, что $2-\sqrt{6} = -(\sqrt{6}-2)$. Можно вынести минус за знак дроби.

$\frac{4}{2-\sqrt{6}} = \frac{4}{-( \sqrt{6}-2)} = -\frac{4}{\sqrt{6}-2}$. Теперь домножим на $(\sqrt{6}+2)$:

$-\frac{4 \cdot (\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6}-2) \cdot (\sqrt{6}+2)} = -\frac{4(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6})^2 - 2^2} = -\frac{4(\sqrt{6}+2)}{6-4} = -\frac{4(\sqrt{6}+2)}{2} = -2(\sqrt{6}+2) = -2\sqrt{6} - 4$

2. Теперь сложим полученные выражения:

$(3\sqrt{6} + 3) + (-2\sqrt{6} - 4) = 3\sqrt{6} - 2\sqrt{6} + 3 - 4 = \sqrt{6} - 1$

3. Подставим результат обратно в исходное выражение и выполним умножение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{6} - 1) \cdot (\sqrt{6} + 1) = (\sqrt{6})^2 - 1^2 = 6 - 1 = 5$

Ответ: 5.

б) $(\frac{4 \cdot 2^2 + 9 \cdot (\frac{3}{2})^{-2}}{8^0 + (\frac{1}{2})^0 \cdot (\frac{1}{24})^{-1}} + (1-3^0)^2)^{-2}$

Решим по действиям, соблюдая порядок операций. Сначала выполним действия в больших скобках, а затем возведем в степень.

1. Вычислим числитель дроби. Используем свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$4 \cdot 2^2 + 9 \cdot (\frac{3}{2})^{-2} = 4 \cdot 4 + 9 \cdot (\frac{2}{3})^2 = 16 + 9 \cdot \frac{4}{9} = 16 + 4 = 20$

2. Вычислим знаменатель дроби. Используем свойства $a^0=1$ (для $a \neq 0$) и $a^{-1} = \frac{1}{a}$:

$8^0 + (\frac{1}{2})^0 \cdot (\frac{1}{24})^{-1} = 1 + 1 \cdot 24 = 1 + 24 = 25$

3. Теперь вычислим значение всей дроби:

$\frac{20}{25} = \frac{4 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{4}{5}$

4. Вычислим второе слагаемое в больших скобках:

$(1-3^0)^2 = (1-1)^2 = 0^2 = 0$

5. Подставим полученные значения в выражение в больших скобках:

$\frac{4}{5} + 0 = \frac{4}{5}$

6. Наконец, возведем результат в степень -2:

$(\frac{4}{5})^{-2} = (\frac{5}{4})^2 = \frac{5^2}{4^2} = \frac{25}{16}$

Ответ: $\frac{25}{16}$.