Номер 884, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

884. a) $\sqrt{7^{-3}} \cdot \sqrt{7^5};$

б) $\sqrt[3]{4^7} \cdot \sqrt[3]{4^{-1}};$

в) $\sqrt[4]{6^{-2}} \cdot \sqrt[4]{6^{-4}};$

г) $\sqrt[5]{3^{-8}} \cdot \sqrt[5]{3^{-2}}.$

а) Для решения данного примера воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. В данном случае степень корня $n=2$.
$\sqrt{7^{-3}} \cdot \sqrt{7^{5}} = \sqrt{7^{-3} \cdot 7^{5}}$
Далее применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\sqrt{7^{-3+5}} = \sqrt{7^2}$
Квадратный корень из квадрата положительного числа равен самому числу:
$\sqrt{7^2} = 7$
Ответ: 7

б) Аналогично предыдущему примеру, используем свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. Здесь степень корня $n=3$.
$\sqrt[3]{4^7} \cdot \sqrt[3]{4^{-1}} = \sqrt[3]{4^7 \cdot 4^{-1}}$
Складываем показатели степеней с одинаковым основанием:
$\sqrt[3]{4^{7+(-1)}} = \sqrt[3]{4^6}$
Теперь представим корень в виде степени с дробным показателем, используя свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[3]{4^6} = 4^{\frac{6}{3}} = 4^2$
Вычисляем результат:
$4^2 = 16$
Ответ: 16

в) Применяем те же свойства, что и в предыдущих примерах. Сначала объединяем множители под один корень четвертой степени:
$\sqrt[4]{6^{-2}} \cdot \sqrt[4]{6^{-4}} = \sqrt[4]{6^{-2} \cdot 6^{-4}}$
Складываем показатели степеней:
$\sqrt[4]{6^{-2+(-4)}} = \sqrt[4]{6^{-6}}$
Представляем в виде степени с дробным показателем:
$\sqrt[4]{6^{-6}} = 6^{-\frac{6}{4}} = 6^{-\frac{3}{2}}$
Преобразуем выражение с отрицательным и дробным показателем. Отрицательный показатель означает обратное число ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), а дробный — корень ($a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$):
$6^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{6^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{6^3}} = \frac{1}{\sqrt{216}}$
Упростим корень в знаменателе: $\sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{6} = 6\sqrt{6}$.
Получаем: $\frac{1}{6\sqrt{6}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:
$\frac{1}{6\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6 \cdot 6} = \frac{\sqrt{6}}{36}$
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{36}$

г) Используем свойство произведения корней пятой степени:
$\sqrt[5]{3^{-8}} \cdot \sqrt[5]{3^{-2}} = \sqrt[5]{3^{-8} \cdot 3^{-2}}$
Складываем показатели степеней:
$\sqrt[5]{3^{-8+(-2)}} = \sqrt[5]{3^{-10}}$
Представляем корень как степень с дробным показателем:
$\sqrt[5]{3^{-10}} = 3^{-\frac{10}{5}} = 3^{-2}$
Вычисляем значение степени с отрицательным показателем:
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$