Страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

877. Найдите целое число — значение выражения:

a) $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{4 - 2\sqrt{3}};$

б) $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}} - \sqrt{8 + 2\sqrt{7}};$

в) $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} + \sqrt{14 - 6\sqrt{5}};$

г) $\sqrt{7 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{10 - 4\sqrt{6}}.$

а) Для решения воспользуемся методом выделения полного квадрата под знаком корня, используя формулы квадрата суммы и разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. Из этого следует, что $\sqrt{X \pm Y} = \sqrt{a^2+b^2 \pm 2ab} = \sqrt{(a \pm b)^2} = |a \pm b|$.

1. Упростим выражение $\sqrt{7-4\sqrt{3}}$. Мы ищем числа $a$ и $b$, для которых $a^2+b^2=7$ и $2ab=4\sqrt{3}$. Из второго уравнения получаем $ab=2\sqrt{3}$. Подбором находим $a=2$ и $b=\sqrt{3}$. Проверяем: $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4+3=7$. Условие выполняется. Значит, $7-4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2$. Тогда $\sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = |2-\sqrt{3}|$. Так как $2=\sqrt{4}$, а $\sqrt{4}>\sqrt{3}$, то $2-\sqrt{3}>0$, и модуль равен $2-\sqrt{3}$.

2. Упростим выражение $\sqrt{4-2\sqrt{3}}$. Ищем числа $a$ и $b$, для которых $a^2+b^2=4$ и $2ab=2\sqrt{3}$, то есть $ab=\sqrt{3}$. Подходят $a=\sqrt{3}$ и $b=1$. Проверяем: $a^2+b^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3+1=4$. Значит, $4-2\sqrt{3} = (\sqrt{3}-1)^2$. Тогда $\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = |\sqrt{3}-1|$. Так как $\sqrt{3}>1$, то $\sqrt{3}-1>0$, и модуль равен $\sqrt{3}-1$.

3. Вычислим значение исходного выражения: $\sqrt{7-4\sqrt{3}} + \sqrt{4-2\sqrt{3}} = (2-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}-1) = 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1 = 1$.

Ответ: 1

б) Упростим каждый член выражения $\sqrt{11-4\sqrt{7}} - \sqrt{8+2\sqrt{7}}$ по отдельности.

1. Для $\sqrt{11-4\sqrt{7}}$, ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=11$ и $2ab=4\sqrt{7}$ ($ab=2\sqrt{7}$). Подходят числа $a=\sqrt{7}$ и $b=2$. Проверяем: $a^2+b^2 = (\sqrt{7})^2+2^2 = 7+4=11$. Следовательно, $11-4\sqrt{7} = (\sqrt{7}-2)^2$. Тогда $\sqrt{11-4\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}-2)^2} = |\sqrt{7}-2|$. Так как $\sqrt{7}>\sqrt{4}=2$, то $\sqrt{7}-2>0$, и модуль равен $\sqrt{7}-2$.

2. Для $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$, ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=8$ и $2ab=2\sqrt{7}$ ($ab=\sqrt{7}$). Подходят числа $a=\sqrt{7}$ и $b=1$. Проверяем: $a^2+b^2 = (\sqrt{7})^2+1^2=7+1=8$. Следовательно, $8+2\sqrt{7} = (\sqrt{7}+1)^2$. Тогда $\sqrt{8+2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} = |\sqrt{7}+1| = \sqrt{7}+1$.

3. Вычислим значение исходного выражения: $(\sqrt{7}-2) - (\sqrt{7}+1) = \sqrt{7}-2-\sqrt{7}-1 = -3$.

Ответ: -3

в) Упростим каждый член выражения $\sqrt{9-4\sqrt{5}} + \sqrt{14-6\sqrt{5}}$ по отдельности.

1. Для $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$, ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=9$ и $2ab=4\sqrt{5}$ ($ab=2\sqrt{5}$). Подходят числа $a=\sqrt{5}$ и $b=2$. Проверяем: $a^2+b^2 = (\sqrt{5})^2+2^2 = 5+4=9$. Следовательно, $9-4\sqrt{5} = (\sqrt{5}-2)^2$. Тогда $\sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = |\sqrt{5}-2|$. Так как $\sqrt{5}>\sqrt{4}=2$, то $\sqrt{5}-2>0$, и модуль равен $\sqrt{5}-2$.

2. Для $\sqrt{14-6\sqrt{5}}$, ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=14$ и $2ab=6\sqrt{5}$ ($ab=3\sqrt{5}$). Подходят числа $a=3$ и $b=\sqrt{5}$. Проверяем: $a^2+b^2 = 3^2+(\sqrt{5})^2=9+5=14$. Следовательно, $14-6\sqrt{5} = (3-\sqrt{5})^2$. Тогда $\sqrt{14-6\sqrt{5}} = \sqrt{(3-\sqrt{5})^2} = |3-\sqrt{5}|$. Так как $3=\sqrt{9}>\sqrt{5}$, то $3-\sqrt{5}>0$, и модуль равен $3-\sqrt{5}$.

3. Вычислим значение исходного выражения: $(\sqrt{5}-2) + (3-\sqrt{5}) = \sqrt{5}-2+3-\sqrt{5} = 1$.

Ответ: 1

г) Упростим каждый член выражения $\sqrt{7+2\sqrt{6}} - \sqrt{10-4\sqrt{6}}$ по отдельности.

1. Для $\sqrt{7+2\sqrt{6}}$, ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=7$ и $2ab=2\sqrt{6}$ ($ab=\sqrt{6}$). Подходят числа $a=\sqrt{6}$ и $b=1$. Проверяем: $a^2+b^2 = (\sqrt{6})^2+1^2 = 6+1=7$. Следовательно, $7+2\sqrt{6} = (\sqrt{6}+1)^2$. Тогда $\sqrt{7+2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{6}+1)^2} = |\sqrt{6}+1| = \sqrt{6}+1$.

2. Для $\sqrt{10-4\sqrt{6}}$, ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=10$ и $2ab=4\sqrt{6}$ ($ab=2\sqrt{6}$). Подходят числа $a=\sqrt{6}$ и $b=2$. Проверяем: $a^2+b^2 = (\sqrt{6})^2+2^2=6+4=10$. Следовательно, $10-4\sqrt{6} = (\sqrt{6}-2)^2$. Тогда $\sqrt{10-4\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{6}-2)^2} = |\sqrt{6}-2|$. Так как $\sqrt{6}>\sqrt{4}=2$, то $\sqrt{6}-2>0$, и модуль равен $\sqrt{6}-2$.

3. Вычислим значение исходного выражения: $(\sqrt{6}+1) - (\sqrt{6}-2) = \sqrt{6}+1-\sqrt{6}+2 = 3$.

Ответ: 3

878. Упростите выражение:

а) $\sqrt{7 + 2\sqrt{6}} + \sqrt{7 - 2\sqrt{6}}$;

б) $\sqrt{11 - 2\sqrt{10}} + \sqrt{11 + 2\sqrt{10}}$;

в) $\sqrt{8 + \sqrt{28}} + \sqrt{8 - \sqrt{28}}$;

г) $\sqrt{9 - \sqrt{17}} + \sqrt{9 + \sqrt{17}}$.

а) Обозначим исходное выражение через $x$:

$x = \sqrt{7+2\sqrt{6}} + \sqrt{7-2\sqrt{6}}$

Поскольку оба слагаемых в выражении являются положительными числами, то их сумма $x$ также будет положительной, то есть $x > 0$. Возведем обе части равенства в квадрат:

$x^2 = (\sqrt{7+2\sqrt{6}} + \sqrt{7-2\sqrt{6}})^2$

Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$x^2 = (\sqrt{7+2\sqrt{6}})^2 + 2 \cdot \sqrt{7+2\sqrt{6}} \cdot \sqrt{7-2\sqrt{6}} + (\sqrt{7-2\sqrt{6}})^2$

$x^2 = (7+2\sqrt{6}) + 2\sqrt{(7+2\sqrt{6})(7-2\sqrt{6})} + (7-2\sqrt{6})$

Упростим полученное выражение. Слагаемые $2\sqrt{6}$ и $-2\sqrt{6}$ взаимно уничтожаются. Для упрощения подкоренного выражения воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$x^2 = 7 + 7 + 2\sqrt{7^2 - (2\sqrt{6})^2}$

$x^2 = 14 + 2\sqrt{49 - 4 \cdot 6}$

$x^2 = 14 + 2\sqrt{49 - 24}$

$x^2 = 14 + 2\sqrt{25}$

$x^2 = 14 + 2 \cdot 5$

$x^2 = 14 + 10 = 24$

Так как $x > 0$, извлекаем квадратный корень из 24:

$x = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

Ответ: $2\sqrt{6}$

б) Обозначим исходное выражение через $x$:

$x = \sqrt{11-2\sqrt{10}} + \sqrt{11+2\sqrt{10}}$

Поскольку оба слагаемых положительны, то $x > 0$. Возведем обе части равенства в квадрат:

$x^2 = (\sqrt{11-2\sqrt{10}} + \sqrt{11+2\sqrt{10}})^2$

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$x^2 = (\sqrt{11-2\sqrt{10}})^2 + 2 \cdot \sqrt{11-2\sqrt{10}} \cdot \sqrt{11+2\sqrt{10}} + (\sqrt{11+2\sqrt{10}})^2$

$x^2 = (11-2\sqrt{10}) + 2\sqrt{(11-2\sqrt{10})(11+2\sqrt{10})} + (11+2\sqrt{10})$

Слагаемые с $2\sqrt{10}$ взаимно уничтожаются. Подкоренное выражение во втором слагаемом упрощаем по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$x^2 = 11 + 11 + 2\sqrt{11^2 - (2\sqrt{10})^2}$

$x^2 = 22 + 2\sqrt{121 - 4 \cdot 10}$

$x^2 = 22 + 2\sqrt{121 - 40}$

$x^2 = 22 + 2\sqrt{81}$

$x^2 = 22 + 2 \cdot 9$

$x^2 = 22 + 18 = 40$

Так как $x > 0$, извлекаем квадратный корень из 40:

$x = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$

Ответ: $2\sqrt{10}$

в) Обозначим исходное выражение через $x$:

$x = \sqrt{8+\sqrt{28}} + \sqrt{8-\sqrt{28}}$

Поскольку $8 = \sqrt{64}$ и $\sqrt{64} > \sqrt{28}$, то $8-\sqrt{28} > 0$, следовательно, оба слагаемых в выражении положительны, и их сумма $x > 0$. Возведем обе части равенства в квадрат:

$x^2 = (\sqrt{8+\sqrt{28}} + \sqrt{8-\sqrt{28}})^2$

Применим формулу квадрата суммы:

$x^2 = (\sqrt{8+\sqrt{28}})^2 + 2 \cdot \sqrt{8+\sqrt{28}} \cdot \sqrt{8-\sqrt{28}} + (\sqrt{8-\sqrt{28}})^2$

$x^2 = (8+\sqrt{28}) + 2\sqrt{(8+\sqrt{28})(8-\sqrt{28})} + (8-\sqrt{28})$

Слагаемые с $\sqrt{28}$ взаимно уничтожаются. Применим формулу разности квадратов:

$x^2 = 8 + 8 + 2\sqrt{8^2 - (\sqrt{28})^2}$

$x^2 = 16 + 2\sqrt{64 - 28}$

$x^2 = 16 + 2\sqrt{36}$

$x^2 = 16 + 2 \cdot 6$

$x^2 = 16 + 12 = 28$

Так как $x > 0$, извлекаем квадратный корень из 28:

$x = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

Ответ: $2\sqrt{7}$

г) Обозначим исходное выражение через $x$:

$x = \sqrt{9-\sqrt{17}} + \sqrt{9+\sqrt{17}}$

Поскольку $9 = \sqrt{81}$ и $\sqrt{81} > \sqrt{17}$, то $9-\sqrt{17} > 0$, следовательно, оба слагаемых положительны, и их сумма $x > 0$. Возведем обе части равенства в квадрат:

$x^2 = (\sqrt{9-\sqrt{17}} + \sqrt{9+\sqrt{17}})^2$

Применим формулу квадрата суммы:

$x^2 = (\sqrt{9-\sqrt{17}})^2 + 2 \cdot \sqrt{9-\sqrt{17}} \cdot \sqrt{9+\sqrt{17}} + (\sqrt{9+\sqrt{17}})^2$

$x^2 = (9-\sqrt{17}) + 2\sqrt{(9-\sqrt{17})(9+\sqrt{17})} + (9+\sqrt{17})$

Слагаемые с $\sqrt{17}$ взаимно уничтожаются. Применим формулу разности квадратов:

$x^2 = 9 + 9 + 2\sqrt{9^2 - (\sqrt{17})^2}$

$x^2 = 18 + 2\sqrt{81 - 17}$

$x^2 = 18 + 2\sqrt{64}$

$x^2 = 18 + 2 \cdot 8$

$x^2 = 18 + 16 = 34$

Так как $x > 0$, извлекаем квадратный корень из 34:

$x = \sqrt{34}$

Ответ: $\sqrt{34}$

879. Найдите значение выражения:

а) $2\sqrt{5\sqrt{48}} + 3\sqrt{40\sqrt{12}} - 2\sqrt{15\sqrt{27}};$

б) $30\sqrt[3]{\frac{1}{2}} + 3\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}} + 5\sqrt[3]{144} + 2\sqrt[3]{0,125} + \sqrt[4]{0,0016}.$

a) $2\sqrt{5\sqrt{48}} + 3\sqrt{40\sqrt{12}} - 2\sqrt{15\sqrt{27}}$

Для решения этого выражения сначала упростим корни, находящиеся под внешними корнями:
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

Подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:
$2\sqrt{5 \cdot 4\sqrt{3}} + 3\sqrt{40 \cdot 2\sqrt{3}} - 2\sqrt{15 \cdot 3\sqrt{3}} = 2\sqrt{20\sqrt{3}} + 3\sqrt{80\sqrt{3}} - 2\sqrt{45\sqrt{3}}$

Теперь воспользуемся свойством корней $\sqrt{a\sqrt{b}} = \sqrt{a}\sqrt{\sqrt{b}} = \sqrt{a}\sqrt[4]{b}$. Общий множитель здесь $\sqrt{\sqrt{3}} = \sqrt[4]{3}$. Вынесем его за скобки:
$\sqrt[4]{3} \cdot (2\sqrt{20} + 3\sqrt{80} - 2\sqrt{45})$

Упростим оставшиеся подкоренные выражения в скобках:
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$
$\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

Подставим эти значения в выражение в скобках:
$\sqrt[4]{3} \cdot (2 \cdot 2\sqrt{5} + 3 \cdot 4\sqrt{5} - 2 \cdot 3\sqrt{5}) = \sqrt[4]{3} \cdot (4\sqrt{5} + 12\sqrt{5} - 6\sqrt{5})$

Сложим и вычтем слагаемые в скобках:
$\sqrt[4]{3} \cdot ((4 + 12 - 6)\sqrt{5}) = \sqrt[4]{3} \cdot 10\sqrt{5} = 10\sqrt{5}\sqrt[4]{3}$

Для более компактной записи можно внести $\sqrt{5}$ под корень четвертой степени:
$\sqrt{5} = \sqrt{\sqrt{5^2}} = \sqrt[4]{25}$
$10\sqrt[4]{25} \cdot \sqrt[4]{3} = 10\sqrt[4]{25 \cdot 3} = 10\sqrt[4]{75}$

Ответ: $10\sqrt[4]{75}$

б) $30\sqrt[3]{\frac{1}{2}} + 3\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{2}{3}} + 5\sqrt[3]{144} + 2\sqrt[3]{0,125} + \sqrt[4]{0,0016}$

Упростим каждое слагаемое по отдельности.

1. $30\sqrt[3]{\frac{1}{2}} = 30\sqrt[3]{\frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4}} = 30\sqrt[3]{\frac{4}{8}} = 30 \cdot \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = 30 \cdot \frac{\sqrt[3]{4}}{2} = 15\sqrt[3]{4}$

2. $3\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{2}{3}} = \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{2}{3}} = \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9}} = \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{18}{27}} = \frac{7}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{7}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{18}}{3} = \frac{7\sqrt[3]{18}}{6}$

3. $5\sqrt[3]{144} = 5\sqrt[3]{8 \cdot 18} = 5 \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{18} = 5 \cdot 2\sqrt[3]{18} = 10\sqrt[3]{18}$

4. $2\sqrt[3]{0,125} = 2\sqrt[3]{\frac{125}{1000}} = 2\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

5. $\sqrt[4]{0,0016} = \sqrt[4]{\frac{16}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{10000}} = \frac{2}{10} = 0,2$

Теперь сложим все упрощенные слагаемые:
$15\sqrt[3]{4} + \frac{7\sqrt[3]{18}}{6} + 10\sqrt[3]{18} + 1 + 0,2$

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:
$(\frac{7\sqrt[3]{18}}{6} + 10\sqrt[3]{18}) = (\frac{7}{6} + 10)\sqrt[3]{18} = (\frac{7}{6} + \frac{60}{6})\sqrt[3]{18} = \frac{67}{6}\sqrt[3]{18}$
$1 + 0,2 = 1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

Итоговое выражение:
$15\sqrt[3]{4} + \frac{67}{6}\sqrt[3]{18} + \frac{6}{5}$

Это выражение не может быть упрощено дальше, так как $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[3]{18}$ не являются подобными радикалами.

Ответ: $15\sqrt[3]{4} + \frac{67}{6}\sqrt[3]{18} + 1,2$

880. Упростите выражение:

a) $ \sqrt{5} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{5}} : \sqrt[4]{\sqrt{5}}\right)^2 $;

б) $ \left(\sqrt[3]{16\sqrt[4]{8\sqrt{2}}}\right)^2 \cdot \sqrt[3]{32\sqrt[4]{2}} \cdot \sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt[3]{3}}} $.

а)

Для упрощения выражения $ \sqrt{\sqrt{5}} \cdot (\sqrt[3]{\sqrt{5}} : \sqrt{\sqrt[4]{5}})^2 $ представим все корни в виде степеней с дробными показателями, используя свойства $ \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a} = a^{\frac{1}{nm}} $, $ a^p : a^q = a^{p-q} $, $ a^p \cdot a^q = a^{p+q} $ и $ (a^p)^q = a^{pq} $.

1. Упростим каждый компонент выражения по отдельности:

• $ \sqrt{\sqrt{5}} = \sqrt[2 \cdot 2]{5} = \sqrt[4]{5} = 5^{\frac{1}{4}} $
• $ \sqrt[3]{\sqrt{5}} = \sqrt[3 \cdot 2]{5} = \sqrt[6]{5} = 5^{\frac{1}{6}} $
• $ \sqrt{\sqrt[4]{5}} = \sqrt[2 \cdot 4]{5} = \sqrt[8]{5} = 5^{\frac{1}{8}} $

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ 5^{\frac{1}{4}} \cdot (5^{\frac{1}{6}} : 5^{\frac{1}{8}})^2 $

3. Выполним операцию деления в скобках, вычитая показатели степеней:

$ 5^{\frac{1}{6}} : 5^{\frac{1}{8}} = 5^{\frac{1}{6} - \frac{1}{8}} $

Приводим дроби к общему знаменателю 24:

$ \frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{4}{24} - \frac{3}{24} = \frac{1}{24} $

Таким образом, выражение в скобках равно $ 5^{\frac{1}{24}} $.

4. Возведем результат в квадрат:

$ (5^{\frac{1}{24}})^2 = 5^{\frac{1}{24} \cdot 2} = 5^{\frac{2}{24}} = 5^{\frac{1}{12}} $

5. Теперь выполним умножение, складывая показатели степеней:

$ 5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{12}} = 5^{\frac{1}{4} + \frac{1}{12}} $

Приводим дроби к общему знаменателю 12:

$ \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $

6. Итоговый результат: $ 5^{\frac{1}{3}} $, что в виде корня записывается как $ \sqrt[3]{5} $.

Ответ: $ \sqrt[3]{5} $

б)

Для упрощения выражения $ (\sqrt[3]{16\sqrt[4]{8\sqrt{2}}})^2 \cdot \sqrt[3]{32\sqrt[4]{2}} \cdot \sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt[3]{3}}} $ представим все числа в виде степеней и последовательно упростим каждый множитель.

1. Упростим первый множитель $ (\sqrt[3]{16\sqrt[4]{8\sqrt{2}}})^2 $:

• $ 8\sqrt{2} = 2^3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{3+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{7}{2}} $
• $ 16\sqrt[4]{8\sqrt{2}} = 16 \cdot (2^{\frac{7}{2}})^{\frac{1}{4}} = 2^4 \cdot 2^{\frac{7}{8}} = 2^{4+\frac{7}{8}} = 2^{\frac{39}{8}} $
• $ \sqrt[3]{2^{\frac{39}{8}}} = (2^{\frac{39}{8}})^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{39}{24}} = 2^{\frac{13}{8}} $
• $ (2^{\frac{13}{8}})^2 = 2^{\frac{13}{8} \cdot 2} = 2^{\frac{26}{8}} = 2^{\frac{13}{4}} $

2. Упростим второй множитель $ \sqrt[3]{32\sqrt[4]{2}} $:

• $ 32\sqrt[4]{2} = 2^5 \cdot 2^{\frac{1}{4}} = 2^{5+\frac{1}{4}} = 2^{\frac{21}{4}} $
• $ \sqrt[3]{2^{\frac{21}{4}}} = (2^{\frac{21}{4}})^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{21}{12}} = 2^{\frac{7}{4}} $

3. Упростим третий множитель $ \sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt[3]{3}}} $:

• $ 4\sqrt[3]{3} = 2^2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} $
• $ 2\sqrt[4]{4\sqrt[3]{3}} = 2 \cdot (2^2 \cdot 3^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{4}} = 2^1 \cdot 2^{\frac{2}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{12}} = 2^{1+\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{12}} = 2^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{12}} $
• $ \sqrt{2^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{12}}} = (2^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} \cdot (3^{\frac{1}{12}})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{24}} $

4. Перемножим все упрощенные множители:

$ 2^{\frac{13}{4}} \cdot 2^{\frac{7}{4}} \cdot (2^{\frac{3}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{24}}) $

Сгруппируем степени с одинаковым основанием:

$ (2^{\frac{13}{4}} \cdot 2^{\frac{7}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}}) \cdot 3^{\frac{1}{24}} = 2^{\frac{13}{4} + \frac{7}{4} + \frac{3}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{24}} = 2^{\frac{13+7+3}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{24}} = 2^{\frac{23}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{24}} $

Это выражение можно оставить в таком виде или представить в виде корней:

$ 2^{\frac{23}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{24}} = 2^{5\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[24]{3} = 32 \cdot 2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[24]{3} = 32\sqrt[4]{2^3}\sqrt[24]{3} = 32\sqrt[4]{8}\sqrt[24]{3} $

Ответ: $ 2^{\frac{23}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{24}} $ или $ 32\sqrt[4]{8}\sqrt[24]{3} $

881. Доказываем. Докажите справедливость равенства:

a) $ \frac{3\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{3}\sqrt{5} - 3\sqrt{2}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}; $

б) $ \frac{1}{\sqrt[8]{3} + \sqrt[8]{2}} = (\sqrt[8]{3} - \sqrt[8]{2})(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}). $

а)

Для доказательства справедливости равенства $\frac{3\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{3}\sqrt{5} - 3\sqrt{2}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$ преобразуем его, умножив обе части на знаменатель левой части $\sqrt{3}\sqrt{5} - 3\sqrt{2}$. Если равенство верно, то числитель левой части должен быть равен произведению правой части и знаменателя левой части.

Проверим, выполняется ли равенство: $3\sqrt{5} + \sqrt{2} = (\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{3}\sqrt{5} - 3\sqrt{2})$.

Раскроем скобки в правой части выражения:

$(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{15} - 3\sqrt{2}) = \sqrt{5} \cdot \sqrt{15} - \sqrt{5} \cdot 3\sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{15} - \sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}$

Выполним умножение и упростим:

$= \sqrt{75} - 3\sqrt{10} + \sqrt{30} - 3 \cdot 2$

$= \sqrt{25 \cdot 3} - 3\sqrt{10} + \sqrt{30} - 6$

$= 5\sqrt{3} - 3\sqrt{10} + \sqrt{30} - 6$

Полученное выражение $5\sqrt{3} - 3\sqrt{10} + \sqrt{30} - 6$ не равно $3\sqrt{5} + \sqrt{2}$. Следовательно, исходное равенство не является верным. Вероятно, в условии задачи содержится опечатка.

Ответ: Равенство не является верным, так как при проверке получается $3\sqrt{5} + \sqrt{2} \neq 5\sqrt{3} - 3\sqrt{10} + \sqrt{30} - 6$.

б)

Для доказательства справедливости равенства $\frac{1}{\sqrt[8]{3} + \sqrt[8]{2}} = (\sqrt[8]{3} - \sqrt[8]{2})(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})$ докажем, что произведение правой части и знаменателя левой части равно 1.

Пусть $R = (\sqrt[8]{3} - \sqrt[8]{2})(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.

Умножим $R$ на $(\sqrt[8]{3} + \sqrt[8]{2})$:

$R \cdot (\sqrt[8]{3} + \sqrt[8]{2}) = (\sqrt[8]{3} - \sqrt[8]{2})(\sqrt[8]{3} + \sqrt[8]{2})(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})$

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для первой пары множителей:

$(\sqrt[8]{3} - \sqrt[8]{2})(\sqrt[8]{3} + \sqrt[8]{2}) = (\sqrt[8]{3})^2 - (\sqrt[8]{2})^2 = \sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{2}$

Подставим результат обратно в выражение:

$= (\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})$

Снова применим формулу разности квадратов:

$(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2}) = (\sqrt[4]{3})^2 - (\sqrt[4]{2})^2 = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Выражение принимает вид:

$= (\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})$

В последний раз применим формулу разности квадратов:

$= (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$

Мы показали, что $(\sqrt[8]{3} - \sqrt[8]{2})(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) \cdot (\sqrt[8]{3} + \sqrt[8]{2}) = 1$.

Отсюда следует, что $(\sqrt[8]{3} - \sqrt[8]{2})(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = \frac{1}{\sqrt[8]{3} + \sqrt[8]{2}}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

882. Вычислите:

а) $\left(\frac{15}{\sqrt{6}-1} + \frac{4}{2-\sqrt{6}}\right) \cdot (\sqrt{6}+1);$

б) $\left(\frac{4 \cdot 2^2 + 9 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{-2}}{8^0 + \left(\frac{1}{2}\right)^0 \cdot \left(\frac{1}{24}\right)^{-1}} + (1-3^0)^2\right).$

а) $(\frac{15}{\sqrt{6}-1} + \frac{4}{2-\sqrt{6}}) \cdot (\sqrt{6}+1)$

1. Упростим выражение в скобках. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателях каждой дроби, домножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение.

Для первой дроби $\frac{15}{\sqrt{6}-1}$ сопряженным выражением является $(\sqrt{6}+1)$:

$\frac{15}{\sqrt{6}-1} = \frac{15 \cdot (\sqrt{6}+1)}{(\sqrt{6}-1) \cdot (\sqrt{6}+1)} = \frac{15(\sqrt{6}+1)}{(\sqrt{6})^2 - 1^2} = \frac{15(\sqrt{6}+1)}{6-1} = \frac{15(\sqrt{6}+1)}{5} = 3(\sqrt{6}+1) = 3\sqrt{6} + 3$

Для второй дроби $\frac{4}{2-\sqrt{6}}$ сопряженным выражением является $(2+\sqrt{6})$. Заметим, что $2-\sqrt{6} = -(\sqrt{6}-2)$. Можно вынести минус за знак дроби.

$\frac{4}{2-\sqrt{6}} = \frac{4}{-( \sqrt{6}-2)} = -\frac{4}{\sqrt{6}-2}$. Теперь домножим на $(\sqrt{6}+2)$:

$-\frac{4 \cdot (\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6}-2) \cdot (\sqrt{6}+2)} = -\frac{4(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6})^2 - 2^2} = -\frac{4(\sqrt{6}+2)}{6-4} = -\frac{4(\sqrt{6}+2)}{2} = -2(\sqrt{6}+2) = -2\sqrt{6} - 4$

2. Теперь сложим полученные выражения:

$(3\sqrt{6} + 3) + (-2\sqrt{6} - 4) = 3\sqrt{6} - 2\sqrt{6} + 3 - 4 = \sqrt{6} - 1$

3. Подставим результат обратно в исходное выражение и выполним умножение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{6} - 1) \cdot (\sqrt{6} + 1) = (\sqrt{6})^2 - 1^2 = 6 - 1 = 5$

Ответ: 5.

б) $(\frac{4 \cdot 2^2 + 9 \cdot (\frac{3}{2})^{-2}}{8^0 + (\frac{1}{2})^0 \cdot (\frac{1}{24})^{-1}} + (1-3^0)^2)^{-2}$

Решим по действиям, соблюдая порядок операций. Сначала выполним действия в больших скобках, а затем возведем в степень.

1. Вычислим числитель дроби. Используем свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$4 \cdot 2^2 + 9 \cdot (\frac{3}{2})^{-2} = 4 \cdot 4 + 9 \cdot (\frac{2}{3})^2 = 16 + 9 \cdot \frac{4}{9} = 16 + 4 = 20$

2. Вычислим знаменатель дроби. Используем свойства $a^0=1$ (для $a \neq 0$) и $a^{-1} = \frac{1}{a}$:

$8^0 + (\frac{1}{2})^0 \cdot (\frac{1}{24})^{-1} = 1 + 1 \cdot 24 = 1 + 24 = 25$

3. Теперь вычислим значение всей дроби:

$\frac{20}{25} = \frac{4 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{4}{5}$

4. Вычислим второе слагаемое в больших скобках:

$(1-3^0)^2 = (1-1)^2 = 0^2 = 0$

5. Подставим полученные значения в выражение в больших скобках:

$\frac{4}{5} + 0 = \frac{4}{5}$

6. Наконец, возведем результат в степень -2:

$(\frac{4}{5})^{-2} = (\frac{5}{4})^2 = \frac{5^2}{4^2} = \frac{25}{16}$

Ответ: $\frac{25}{16}$.

Упростите выражение (883–888):

883. a) $\sqrt[3]{8^{-3}}$;

б) $\sqrt[5]{4^{-5}}$;

в) $\sqrt[4]{16^{-5}}$;

г) $\sqrt[6]{64^{-3}}$;

д) $\sqrt[10]{3^{-5}}$;

е) $\sqrt[12]{4^{-6}}$;

ж) $\sqrt[6]{12^{-3}}$;

з) $\sqrt[8]{3^{-4}}$.

а) Для упрощения выражения воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
$\sqrt[3]{8^{-3}} = 8^{\frac{-3}{3}} = 8^{-1}$
Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$8^{-1} = \frac{1}{8}$
Ответ: $\frac{1}{8}$

б) Аналогично предыдущему пункту, применим свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
$\sqrt[5]{4^{-5}} = 4^{\frac{-5}{5}} = 4^{-1} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

в) Представим основание степени 16 как $2^4$ и воспользуемся свойствами степеней.
$\sqrt[4]{16^{-5}} = \sqrt[4]{(2^4)^{-5}} = \sqrt[4]{2^{4 \cdot (-5)}} = \sqrt[4]{2^{-20}}$
Теперь применим свойство корня:
$\sqrt[4]{2^{-20}} = 2^{\frac{-20}{4}} = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$
Ответ: $\frac{1}{32}$

г) Представим основание степени 64 как $2^6$.
$\sqrt[6]{64^{-3}} = \sqrt[6]{(2^6)^{-3}} = \sqrt[6]{2^{6 \cdot (-3)}} = \sqrt[6]{2^{-18}}$
Применим свойство корня:
$\sqrt[6]{2^{-18}} = 2^{\frac{-18}{6}} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
Ответ: $\frac{1}{8}$

д) Используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
$\sqrt[10]{3^{-5}} = 3^{\frac{-5}{10}} = 3^{-\frac{1}{2}}$
Перепишем выражение, используя свойства степени и корня:
$3^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

е) Применим свойство корня и преобразуем выражение.
$\sqrt[12]{4^{-6}} = 4^{\frac{-6}{12}} = 4^{-\frac{1}{2}}$
Перепишем в виде корня:
$4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

ж) Упростим выражение, используя свойство корня.
$\sqrt[6]{12^{-3}} = 12^{\frac{-3}{6}} = 12^{-\frac{1}{2}}$
Перепишем в виде дроби с корнем и упростим его:
$12^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{12^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{\sqrt{4 \cdot 3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$

з) Применим свойство корня.
$\sqrt[8]{3^{-4}} = 3^{\frac{-4}{8}} = 3^{-\frac{1}{2}}$
Перепишем выражение и избавимся от иррациональности в знаменателе:
$3^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

884. a) $\sqrt{7^{-3}} \cdot \sqrt{7^5};$

б) $\sqrt[3]{4^7} \cdot \sqrt[3]{4^{-1}};$

в) $\sqrt[4]{6^{-2}} \cdot \sqrt[4]{6^{-4}};$

г) $\sqrt[5]{3^{-8}} \cdot \sqrt[5]{3^{-2}}.$

а) Для решения данного примера воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. В данном случае степень корня $n=2$.
$\sqrt{7^{-3}} \cdot \sqrt{7^{5}} = \sqrt{7^{-3} \cdot 7^{5}}$
Далее применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\sqrt{7^{-3+5}} = \sqrt{7^2}$
Квадратный корень из квадрата положительного числа равен самому числу:
$\sqrt{7^2} = 7$
Ответ: 7

б) Аналогично предыдущему примеру, используем свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. Здесь степень корня $n=3$.
$\sqrt[3]{4^7} \cdot \sqrt[3]{4^{-1}} = \sqrt[3]{4^7 \cdot 4^{-1}}$
Складываем показатели степеней с одинаковым основанием:
$\sqrt[3]{4^{7+(-1)}} = \sqrt[3]{4^6}$
Теперь представим корень в виде степени с дробным показателем, используя свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[3]{4^6} = 4^{\frac{6}{3}} = 4^2$
Вычисляем результат:
$4^2 = 16$
Ответ: 16

в) Применяем те же свойства, что и в предыдущих примерах. Сначала объединяем множители под один корень четвертой степени:
$\sqrt[4]{6^{-2}} \cdot \sqrt[4]{6^{-4}} = \sqrt[4]{6^{-2} \cdot 6^{-4}}$
Складываем показатели степеней:
$\sqrt[4]{6^{-2+(-4)}} = \sqrt[4]{6^{-6}}$
Представляем в виде степени с дробным показателем:
$\sqrt[4]{6^{-6}} = 6^{-\frac{6}{4}} = 6^{-\frac{3}{2}}$
Преобразуем выражение с отрицательным и дробным показателем. Отрицательный показатель означает обратное число ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), а дробный — корень ($a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$):
$6^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{6^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{6^3}} = \frac{1}{\sqrt{216}}$
Упростим корень в знаменателе: $\sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{6} = 6\sqrt{6}$.
Получаем: $\frac{1}{6\sqrt{6}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:
$\frac{1}{6\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6 \cdot 6} = \frac{\sqrt{6}}{36}$
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{36}$

г) Используем свойство произведения корней пятой степени:
$\sqrt[5]{3^{-8}} \cdot \sqrt[5]{3^{-2}} = \sqrt[5]{3^{-8} \cdot 3^{-2}}$
Складываем показатели степеней:
$\sqrt[5]{3^{-8+(-2)}} = \sqrt[5]{3^{-10}}$
Представляем корень как степень с дробным показателем:
$\sqrt[5]{3^{-10}} = 3^{-\frac{10}{5}} = 3^{-2}$
Вычисляем значение степени с отрицательным показателем:
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$

885. a) $\sqrt[3]{5^{-3}} : \sqrt[3]{5^6}$;

б) $\sqrt[4]{9} : \sqrt[4]{9^{-8}};$

в) $\sqrt[6]{7^{-2}} : \sqrt[4]{7^{-4}};$

г) $\sqrt[8]{2^{-10}} : \sqrt[8]{2^{-12}}.$

а) $\sqrt[3]{5^{-3}} : \sqrt[3]{5^6}$

Для решения данного примера представим каждый корень в виде степени с рациональным показателем, используя формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Первый член выражения: $\sqrt[3]{5^{-3}} = 5^{\frac{-3}{3}} = 5^{-1}$.

Второй член выражения: $\sqrt[3]{5^6} = 5^{\frac{6}{3}} = 5^2$.

Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием по правилу $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$5^{-1} : 5^2 = 5^{-1-2} = 5^{-3}$.

Вычислим конечный результат, используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$.

Ответ: $\frac{1}{125}$.

б) $\sqrt[4]{9} : \sqrt[4]{9^{-8}}$

Упростим каждый член выражения по отдельности. Для этого представим число 9 как $3^2$ и воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Первый член: $\sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} = 3^{\frac{2}{4}} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

Второй член: $\sqrt[4]{9^{-8}} = 9^{\frac{-8}{4}} = 9^{-2}$.

Используя $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $9^{-2} = \frac{1}{9^2} = \frac{1}{81}$.

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\sqrt{3} : \frac{1}{81} = \sqrt{3} \cdot 81 = 81\sqrt{3}$.

Ответ: $81\sqrt{3}$.

в) $\sqrt[6]{7^{-2}} : \sqrt[4]{7^{-4}}$

Поскольку показатели корней различны (6 и 4), необходимо представить оба выражения в виде степеней с рациональными показателями, используя формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Первый член: $\sqrt[6]{7^{-2}} = 7^{\frac{-2}{6}} = 7^{-\frac{1}{3}}$.

Второй член: $\sqrt[4]{7^{-4}} = 7^{\frac{-4}{4}} = 7^{-1}$.

Далее выполним деление степеней с одинаковым основанием по правилу $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$7^{-\frac{1}{3}} : 7^{-1} = 7^{-\frac{1}{3} - (-1)} = 7^{-\frac{1}{3} + 1} = 7^{-\frac{1}{3} + \frac{3}{3}} = 7^{\frac{2}{3}}$.

Запишем полученный результат в виде корня:

$7^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{7^2} = \sqrt[3]{49}$.

Ответ: $\sqrt[3]{49}$.

г) $\sqrt[8]{2^{-10}} : \sqrt[8]{2^{-12}}$

В данном случае показатели корней одинаковы, поэтому можно применить свойство частного корней: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

$\sqrt[8]{2^{-10}} : \sqrt[8]{2^{-12}} = \sqrt[8]{\frac{2^{-10}}{2^{-12}}}$.

Упростим подкоренное выражение, используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\sqrt[8]{2^{-10 - (-12)}} = \sqrt[8]{2^{-10+12}} = \sqrt[8]{2^2}$.

Теперь упростим полученный корень. Это можно сделать, сократив показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель (в данном случае на 2), или представив корень в виде степени:

$\sqrt[8]{2^2} = 2^{\frac{2}{8}} = 2^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2}$.

Ответ: $\sqrt[4]{2}$.

886. а) $\sqrt[5]{3^3} \cdot \sqrt[5]{4^3}$;

б) $\sqrt[7]{4^2} \cdot \sqrt[7]{4^6}$;

в) $\sqrt[3]{12^2} \cdot \sqrt[3]{3^4}$;

г) $\sqrt[5]{7^4} \cdot \sqrt[5]{7^4}$.

а) Чтобы перемножить корни с одинаковым показателем, нужно перемножить подкоренные выражения, оставив показатель корня прежним. Это свойство можно записать в виде формулы: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$. Применим это свойство к данному выражению: $\sqrt[5]{3^3} \cdot \sqrt[5]{4^3} = \sqrt[5]{3^3 \cdot 4^3}$. Далее воспользуемся свойством степеней $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$: $\sqrt[5]{3^3 \cdot 4^3} = \sqrt[5]{(3 \cdot 4)^3} = \sqrt[5]{12^3}$. Вычислим $12^3 = 1728$. Таким образом, выражение равно $\sqrt[5]{1728}$.
Ответ: $\sqrt[5]{12^3}$ или $\sqrt[5]{1728}$.

б) Используем то же свойство произведения корней с одинаковым показателем: $\sqrt[7]{4^2} \cdot \sqrt[7]{4^6} = \sqrt[7]{4^2 \cdot 4^6}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. $\sqrt[7]{4^2 \cdot 4^6} = \sqrt[7]{4^{2+6}} = \sqrt[7]{4^8}$. Для упрощения представим подкоренное выражение в виде произведения, где один из множителей имеет степень, равную показателю корня: $\sqrt[7]{4^8} = \sqrt[7]{4^7 \cdot 4^1} = \sqrt[7]{4^7} \cdot \sqrt[7]{4}$. Так как $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для $a \ge 0$), то $\sqrt[7]{4^7} = 4$. В результате получаем: $4 \cdot \sqrt[7]{4}$.
Ответ: $4\sqrt[7]{4}$.

в) Применяем свойство произведения корней: $\sqrt[3]{12^2} \cdot \sqrt[3]{3^4} = \sqrt[3]{12^2 \cdot 3^4}$. Разложим число 12 на простые множители: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. Подставим это разложение в выражение под корнем: $\sqrt[3]{(2^2 \cdot 3)^2 \cdot 3^4} = \sqrt[3]{(2^2)^2 \cdot 3^2 \cdot 3^4} = \sqrt[3]{2^4 \cdot 3^{2+4}} = \sqrt[3]{2^4 \cdot 3^6}$. Теперь вынесем множители из-под знака корня. Для этого представим степени в виде суммы, где одно из слагаемых кратно 3: $\sqrt[3]{2^{3+1} \cdot 3^6} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2^1 \cdot (3^2)^3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{(3^2)^3} \cdot \sqrt[3]{2}$. Упрощаем: $2 \cdot 3^2 \cdot \sqrt[3]{2} = 2 \cdot 9 \cdot \sqrt[3]{2} = 18\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $18\sqrt[3]{2}$.

г) Используем свойство произведения корней: $\sqrt[5]{74} \cdot \sqrt[5]{74} = \sqrt[5]{74 \cdot 74} = \sqrt[5]{74^2}$. Можно вычислить значение $74^2$: $74^2 = 5476$. Получаем $\sqrt[5]{5476}$. Дальнейшее упрощение невозможно, так как разложение $74 = 2 \cdot 37$, и $74^2 = 2^2 \cdot 37^2$, а степени множителей (2) меньше показателя корня (5).
Ответ: $\sqrt[5]{74^2}$ или $\sqrt[5]{5476}$.