Страница 259 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

830. Округлите до третьего знака после запятой следующие числа:

а) $37,57891$;

б) $0,002576$;

в) $-117,00992$;

г) $0,3\overline{9}$;

д) $-31,72\overline{13}$;

е) $0,00\overline{08}$.

а) Чтобы округлить число $37,57891$ до третьего знака после запятой (до тысячных), нужно посмотреть на четвертый знак после запятой. В данном числе это цифра 9.

Правило округления гласит: если цифра, следующая за округляемым разрядом, равна 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру в округляемом разряде нужно увеличить на единицу, а все последующие цифры отбросить.

В числе $37,57891$ третья цифра после запятой — 8, а следующая за ней — 9. Так как $9 \ge 5$, мы увеличиваем 8 на 1, получая 9. Таким образом, число округляется до $37,579$.

Ответ: $37,579$.

б) Рассмотрим число $0,002576$. Нам нужно округлить его до третьего знака после запятой.

Третий знак после запятой — это цифра 2. Четвертый знак — цифра 5.

По правилу округления, так как следующая цифра 5, мы должны увеличить цифру в округляемом разряде (2) на единицу. $2 + 1 = 3$.

Получаем число $0,003$.

Ответ: $0,003$.

в) Рассмотрим число $-117,00992$. Округляем до третьего знака после запятой.

Третий знак после запятой — 9. Четвертый знак — 9.

Так как $9 \ge 5$, мы должны увеличить цифру в округляемом разряде (9) на единицу. $9 + 1 = 10$. В этом случае мы записываем 0 в третий разряд после запятой и добавляем 1 к предыдущему разряду (ко второму знаку после запятой).

Второй знак после запятой — 0. $0 + 1 = 1$.

Таким образом, округленное число будет $-117,010$. Ноль в конце важен, так как он показывает точность округления до третьего знака.

Ответ: $-117,010$.

г) Число $0,3(9)$ является периодической дробью, которая означает $0,3999...$.

Для округления до третьего знака после запятой нам нужно посмотреть на четвертый знак. В записи $0,3999...$ третий знак — 9, а четвертый знак — также 9.

Так как четвертая цифра ($9$) больше или равна 5, мы увеличиваем третью цифру на 1. $9 + 1 = 10$. Записываем 0 и переносим 1 к предыдущему разряду.

Второй знак (9) плюс 1 дает 10. Снова записываем 0 и переносим 1 к предыдущему разряду.

Первый знак (3) плюс 1 дает 4.

Таким образом, $0,399...$ округляется до $0,400$.

Также можно отметить, что периодическая дробь $0,(9)$ равна 1. Следовательно, $0,3(9) = 0,3 + 0,0(9) = 0,3 + 0,1 = 0,4$. Округление числа $0,4$ до третьего знака после запятой дает $0,400$.

Ответ: $0,400$.

д) Число $-31,72(13)$ — это периодическая дробь $-31,721313...$.

Округляем до третьего знака после запятой. Третий знак — 1. Четвертый знак — 3.

По правилу округления, так как $3 < 5$, мы оставляем цифру в округляемом разряде (1) без изменений, а все последующие цифры отбрасываем.

Таким образом, получаем $-31,721$.

Ответ: $-31,721$.

е) Число $0,00(08)$ — это периодическая дробь $0,00080808...$.

Округляем до третьего знака после запятой. Третий знак — 0. Четвертый знак — 8.

Так как $8 \ge 5$, мы увеличиваем цифру в округляемом разряде (0) на единицу. $0 + 1 = 1$.

Получаем $0,001$.

Ответ: $0,001$.

831. Округлите число 87,5562 до сотых с недостатком и с избытком. Определите абсолютную и относительную погрешности каждого приближения.

Дано точное число $x = 87,5562$.

Округление до сотых с недостатком

При округлении до сотых с недостатком мы отбрасываем все цифры после второго знака после запятой.
Приближенное значение: $a_1 = 87,55$.

Абсолютная погрешность этого приближения вычисляется как модуль разности между точным и приближенным значениями:
$\Delta_1 = |x - a_1| = |87,5562 - 87,55| = 0,0062$.

Относительная погрешность — это отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения, часто выражаемое в процентах:
$\delta_1 = \frac{\Delta_1}{|x|} = \frac{0,0062}{87,5562} \approx 0,00007081$.
В процентах: $0,00007081 \times 100\% \approx 0,0071\%$.

Ответ: приближение с недостатком — $87,55$; абсолютная погрешность — $0,0062$; относительная погрешность — $\approx 0,0071\%$.

Округление до сотых с избытком

При округлении до сотых с избытком мы отбрасываем все цифры правее разряда сотых, а цифру в разряде сотых увеличиваем на единицу.
Приближенное значение: $a_2 = 87,56$.

Абсолютная погрешность этого приближения:
$\Delta_2 = |x - a_2| = |87,5562 - 87,56| = |-0,0038| = 0,0038$.

Относительная погрешность:
$\delta_2 = \frac{\Delta_2}{|x|} = \frac{0,0038}{87,5562} \approx 0,00004340$.
В процентах: $0,00004340 \times 100\% \approx 0,0043\%$.

Ответ: приближение с избытком — $87,56$; абсолютная погрешность — $0,0038$; относительная погрешность — $\approx 0,0043\%$.

832. Запишите в виде десятичной дроби с точностью до 0,01 числа:

a) $1 \frac{2}{3}$;

б) $2 \frac{5}{6}$;

в) $\frac{20}{41}$;

г) $\frac{5}{7}$.

а) Чтобы записать смешанное число $1\frac{2}{3}$ в виде десятичной дроби, сначала переведем его в неправильную дробь. Для этого целую часть умножим на знаменатель и прибавим числитель: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель: $5 \div 3 = 1,666...$.
Чтобы округлить полученную бесконечную десятичную дробь с точностью до 0,01 (до сотых), нужно посмотреть на третью цифру после запятой (разряд тысячных). В числе $1,666...$ это цифра 6. Правило округления гласит: если следующая за округляемым разрядом цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, то округляемый разряд увеличивается на единицу. Так как $6 \ge 5$, то цифру в разряде сотых (вторую 6) увеличиваем на 1.
$1,666... \approx 1,67$.
Ответ: 1,67

б) Переведем смешанное число $2\frac{5}{6}$ в неправильную дробь: $2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}$.
Разделим числитель на знаменатель: $17 \div 6 = 2,8333...$.
Для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой. В числе $2,8333...$ это цифра 3. Правило округления гласит: если следующая за округляемым разрядом цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то округляемый разряд остается без изменений. Так как $3 < 5$, то цифру в разряде сотых (3) оставляем без изменений, а все последующие цифры отбрасываем.
$2,8333... \approx 2,83$.
Ответ: 2,83

в) Чтобы записать обыкновенную дробь $\frac{20}{41}$ в виде десятичной, разделим числитель на знаменатель. Выполним деление столбиком, продолжая до третьего знака после запятой, чтобы можно было округлить до сотых.
$20 \div 41 \approx 0,487...$
Третья цифра после запятой — 7. Так как $7 \ge 5$, то цифру в разряде сотых (8) увеличиваем на единицу, а все последующие цифры отбрасываем.
$0,487... \approx 0,49$.
Ответ: 0,49

г) Разделим числитель на знаменатель, чтобы представить дробь $\frac{5}{7}$ в виде десятичной. Выполним деление до тысячных.
$5 \div 7 \approx 0,714...$
Для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой. Это цифра 4. Так как $4 < 5$, то цифру в разряде сотых (1) оставляем без изменений, а последующие цифры отбрасываем.
$0,714... \approx 0,71$.
Ответ: 0,71

833. Как можно записать, что:

а) приближённым значением числа $a$ является число $a_1$ с точностью до 1;

б) приближённым значением числа $a$ является число $a_1$ с точностью до $h$?

а) Утверждение о том, что $a_1$ является приближённым значением числа $a$ с точностью до 1, означает, что абсолютная погрешность этого приближения, то есть модуль разности между точным значением $a$ и приближённым значением $a_1$, не превышает 1. Математически это записывается в виде неравенства: $|a - a_1| \le 1$. Это неравенство также можно записать в виде двойного неравенства: $a_1 - 1 \le a \le a_1 + 1$, которое показывает, что точное значение $a$ находится в отрезке $[a_1 - 1; a_1 + 1]$.
Ответ: $|a - a_1| \le 1$.

б) Аналогично, если $a_1$ является приближённым значением числа $a$ с точностью до $h$ (где $h$ – положительное число, называемое точностью приближения), это означает, что абсолютная погрешность не превышает $h$. Формальная запись этого утверждения имеет вид: $|a - a_1| \le h$. Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $a_1 - h \le a \le a_1 + h$, которое означает, что точное значение $a$ принадлежит отрезку $[a_1 - h; a_1 + h]$.
Ответ: $|a - a_1| \le h$.

834. a) Если $5,23 \le a \le 5,27$, то чему равны приближения снизу (с недостатком) и сверху (с избытком)?

б) Если $0,256 \le a \le 0,258$, то может ли $a$ быть равным: 0,2574; 0,2579; 0,256; 0,258?

а)

Если число $a$ заключено в границах двойного неравенства $5,23 \le a \le 5,27$, это означает, что $a$ больше или равно $5,23$ и одновременно меньше или равно $5,27$.

Приближение числа снизу (или с недостатком) — это нижняя граница данного интервала. Это значение, которое меньше или равно истинному значению $a$. В данном случае это $5,23$.

Приближение числа сверху (или с избытком) — это верхняя граница данного интервала. Это значение, которое больше или равно истинному значению $a$. В данном случае это $5,27$.

Ответ: приближение снизу (с недостатком) равно $5,23$, а приближение сверху (с избытком) равно $5,27$.

б)

Нам дано неравенство $0,256 \le a \le 0,258$. Чтобы определить, может ли $a$ быть равным предложенным числам, мы должны проверить, удовлетворяет ли каждое из этих чисел данному неравенству.

- Проверим число $0,2574$: подставим его в неравенство $0,256 \le 0,2574 \le 0,258$. Это неравенство верно, так как $0,2560 < 0,2574$ и $0,2574 < 0,2580$. Следовательно, $a$ может быть равным $0,2574$.

- Проверим число $0,2579$: подставим его в неравенство $0,256 \le 0,2579 \le 0,258$. Это неравенство также верно, так как $0,2560 < 0,2579$ и $0,2579 < 0,2580$. Следовательно, $a$ может быть равным $0,2579$.

- Проверим число $0,256$: подставим его в неравенство $0,256 \le 0,256 \le 0,258$. Неравенство является нестрогим ($\le$), что допускает равенство. Так как $0,256 = 0,256$ и $0,256 \le 0,258$, неравенство верно. Следовательно, $a$ может быть равным $0,256$.

- Проверим число $0,258$: подставим его в неравенство $0,256 \le 0,258 \le 0,258$. По той же причине (нестрогое неравенство) это верно, так как $0,256 \le 0,258$ и $0,258 = 0,258$. Следовательно, $a$ может быть равным $0,258$.

Ответ: да, $a$ может быть равным любому из предложенных чисел: $0,2574$; $0,2579$; $0,256$; $0,258$.

835. Известно, что $0,25 \le a \le 0,27$. Приведите примеры возможных точных значений $a$.

Условие $0,25 \le a \le 0,27$ означает, что искомое число a должно быть не меньше $0,25$ и не больше $0,27$. Между любыми двумя различными числами находится бесконечное множество других чисел. Приведем несколько примеров таких «точных значений», которые могут быть как рациональными, так и иррациональными числами.

Примеры в виде конечных десятичных дробей

Это самый простой тип чисел, которые можно подобрать. Любая конечная десятичная дробь, которая больше или равна $0,25$ и меньше или равна $0,27$, является подходящим значением. Граничные значения $a=0,25$ и $a=0,27$ также подходят, поскольку неравенство нестрогое. Другие примеры:

- $a = 0,26$

- $a = 0,255$

- $a = 0,268$

Примеры в виде обыкновенных дробей

Значение a может быть рациональным числом, представленным в виде обыкновенной дроби. Чтобы найти такую дробь, представим границы интервала в виде дробей: $0,25 = \frac{1}{4}$ и $0,27 = \frac{27}{100}$. Приведем их к общему знаменателю, например, 200:

$\frac{1}{4} = \frac{50}{200}$ и $\frac{27}{100} = \frac{54}{200}$.

Теперь мы можем выбрать любую дробь с числителем от 50 до 54 и знаменателем 200. Например:

- $a = \frac{51}{200}$ (в десятичном виде это $0,255$)

- $a = \frac{52}{200} = \frac{13}{50}$ (в десятичном виде это $0,26$)

Примеры в виде бесконечных периодических дробей

Такие числа также являются точными рациональными значениями. Например, число $a=0,(26)=0,262626...$ Очевидно, что $0,25 < 0,262626... < 0,27$. Это число можно точно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{26}{99}$.

Примеры в виде иррациональных чисел

Наконец, a может быть иррациональным числом. Чтобы найти такой пример, возведем границы интервала в квадрат:

$0,25^2 = 0,0625$

$0,27^2 = 0,0729$

Теперь выберем любое число между $0,0625$ и $0,0729$, квадратный корень из которого иррационален (то есть само число не является полным квадратом рационального числа). Например, число $0,07$. Так как $0,0625 < 0,07 < 0,0729$, то и $\sqrt{0,0625} < \sqrt{0,07} < \sqrt{0,0729}$, что равносильно $0,25 < \sqrt{0,07} < 0,27$. Следовательно, $a = \sqrt{0,07}$ является подходящим точным значением.

Ответ: например, $0,26$; $\frac{13}{50}$; $0,255$; $0,(26)$; $\sqrt{0,07}$.

836. Вычислите приближённо с точностью до 0,1:

а) $0,385 + 3,7$;

б) $586,(5) + 3,7(8)$;

в) $0,38426 - 0,151892$;

г) $78,54289 - 3,78254$;

д) $2,875684 \cdot 0,3867$;

е) $2,333\dots \cdot 0,28567$;

ж) $78,56634 : 0,5048$;

з) $4,2534 : 1,38456$.

а) Чтобы вычислить сумму $0,385 + 3,7$ с точностью до 0,1, сначала выполним точное сложение:

$0,385 + 3,7 = 4,085$

Теперь необходимо округлить полученный результат до десятых (до одного знака после запятой). Смотрим на вторую цифру после запятой — это 8. Так как $8 \ge 5$, то первую цифру после запятой (0) увеличиваем на единицу.

$4,085 \approx 4,1$

Ответ: 4,1

б) Для вычисления суммы $586,(5) + 3,7(8)$ с точностью до 0,1, сначала преобразуем периодические дроби в обыкновенные для получения точного значения суммы.

Преобразуем $586,(5)$:

$586,(5) = 586\frac{5}{9} = \frac{586 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{5274 + 5}{9} = \frac{5279}{9}$

Преобразуем $3,7(8)$:

$3,7(8) = 3\frac{78-7}{90} = 3\frac{71}{90} = \frac{3 \cdot 90 + 71}{90} = \frac{270 + 71}{90} = \frac{341}{90}$

Сложим полученные дроби:

$\frac{5279}{9} + \frac{341}{90} = \frac{5279 \cdot 10}{90} + \frac{341}{90} = \frac{52790 + 341}{90} = \frac{53131}{90}$

Теперь переведем результат в десятичную дробь:

$\frac{53131}{90} = 590,3444... = 590,3(4)$

Округлим результат $590,344...$ до десятых. Вторая цифра после запятой — 4. Так как $4 < 5$, первую цифру после запятой (3) оставляем без изменений.

$590,3(4) \approx 590,3$

Ответ: 590,3

в) Вычислим разность $0,38426 - 0,151892$ и округлим результат с точностью до 0,1.

Выполним точное вычитание:

$0,38426 - 0,151892 = 0,232368$

Теперь округлим результат до десятых. Вторая цифра после запятой — 3. Так как $3 < 5$, первую цифру после запятой (2) оставляем без изменений.

$0,232368 \approx 0,2$

Ответ: 0,2

г) Чтобы вычислить разность $78,54289 - 3,78254$ с точностью до 0,1, сначала выполним точное вычитание:

$78,54289 - 3,78254 = 74,76035$

Теперь округлим результат до десятых. Вторая цифра после запятой — 6. Так как $6 \ge 5$, округляем первую цифру после запятой (7) в большую сторону (до 8).

$74,76035 \approx 74,8$

Ответ: 74,8

д) Чтобы вычислить произведение $2,875684 \cdot 0,3867$ с точностью до 0,1, сначала найдем точное значение произведения:

$2,875684 \cdot 0,3867 = 1,1121084828$

Теперь округлим результат до десятых. Вторая цифра после запятой — 1. Так как $1 < 5$, оставляем первую цифру после запятой (1) без изменений.

$1,1121084828 \approx 1,1$

Ответ: 1,1

е) Чтобы вычислить произведение $2,333... \cdot 0,28567$ с точностью до 0,1, представим периодическую дробь $2,333...$ как $2,(3) = \frac{7}{3}$.

Выполним умножение:

$2,(3) \cdot 0,28567 = \frac{7}{3} \cdot 0,28567 = \frac{7 \cdot 0,28567}{3} = \frac{1,99969}{3} = 0,666563...$

Теперь округлим результат до десятых. Вторая цифра после запятой — 6. Так как $6 \ge 5$, округляем первую цифру после запятой (6) в большую сторону (до 7).

$0,666563... \approx 0,7$

Ответ: 0,7

ж) Чтобы вычислить частное $78,56634 : 0,5048$ с точностью до 0,1, сначала выполним деление:

$78,56634 : 0,5048 \approx 155,638567...$

Теперь округлим результат до десятых. Вторая цифра после запятой — 3. Так как $3 < 5$, оставляем первую цифру после запятой (6) без изменений.

$155,638567... \approx 155,6$

Ответ: 155,6

з) Чтобы вычислить частное $4,2534 : 1,38456$ с точностью до 0,1, сначала выполним деление:

$4,2534 : 1,38456 \approx 3,072109...$

Теперь округлим результат до десятых. Вторая цифра после запятой — 7. Так как $7 \ge 5$, округляем первую цифру после запятой (0) в большую сторону (до 1).

$3,072109... \approx 3,1$

Ответ: 3,1

837. Докажите, что число $(10^{27} + 5)$ делится нацело на 3.

Чтобы доказать, что число $(10^{27} + 5)$ делится нацело на 3, воспользуемся признаком делимости на 3. Согласно этому признаку, число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Рассмотрим число $10^{27}$. Это число представляет собой единицу, за которой следуют 27 нулей: $10^{27} = 1\underbrace{00...0}_{27 \text{ нулей}}$.

Теперь прибавим к этому числу 5. Сложение дает нам число, у которого последняя цифра 0 заменяется на 5: $10^{27} + 5 = 1\underbrace{00...0}_{27 \text{ нулей}} + 5 = 1\underbrace{00...05}_{26 \text{ нулей}}$.

Найдем сумму цифр полученного числа. Цифрами этого числа являются одна единица, двадцать шесть нулей и одна пятерка. Сумма цифр = $1 + \underbrace{0 + 0 + ... + 0}_{26 \text{ раз}} + 5 = 1 + 0 + 5 = 6$.

Проверим, делится ли полученная сумма цифр (которая равна 6) на 3. $6 \div 3 = 2$. Да, 6 делится на 3 без остатка.

Поскольку сумма цифр числа $(10^{27} + 5)$ делится на 3, то и само число $(10^{27} + 5)$ делится нацело на 3, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

838. Запишите общую формулу чисел, которые при делении и на 3, и на 4 дают остаток 1.

Пусть искомое число обозначается переменной $x$.

Согласно условию задачи, число $x$ при делении на 3 даёт в остатке 1. Это можно записать в виде алгебраического выражения: $x = 3k + 1$, где $k$ — некоторое целое число (частное).

Аналогично, при делении числа $x$ на 4 в остатке получается 1. Это можно записать как: $x = 4m + 1$, где $m$ — некоторое целое число.

Из этих двух равенств можно сделать вывод, что если из числа $x$ вычесть 1, то результат $(x-1)$ будет делиться без остатка и на 3, и на 4.

$x - 1 = 3k$

$x - 1 = 4m$

Таким образом, число $(x-1)$ является общим кратным для чисел 3 и 4. Чтобы найти общую формулу для всех таких чисел $x$, нам необходимо найти их наименьшее общее кратное (НОК).

Числа 3 и 4 являются взаимно простыми, так как у них нет общих делителей, кроме единицы. Наименьшее общее кратное для взаимно простых чисел равно их произведению:

НОК(3, 4) = $3 \times 4 = 12$.

Следовательно, число $(x-1)$ должно быть кратно 12. Это можно выразить формулой: $x - 1 = 12n$, где $n$ — любое целое число.

Чтобы найти общую формулу для $x$, выразим его из последнего равенства:

$x = 12n + 1$.

В таких задачах обычно подразумеваются целые неотрицательные числа, поэтому мы можем считать, что $n$ — это целое неотрицательное число ($n = 0, 1, 2, \dots$).

Ответ: $12n + 1$, где $n$ — целое неотрицательное число.

839. Запишите общую формулу чисел, которые при делении и на 10, и на 7 дают остаток 2.

Пусть искомое число обозначается как $N$.

Из условия задачи следует, что при делении числа $N$ на 10 в остатке получается 2. Это можно записать с помощью сравнения по модулю или через формулу деления с остатком:

$N = 10k + 2$, где $k$ — некоторое целое число.

Аналогично, при делении числа $N$ на 7 в остатке получается 2. Это записывается как:

$N = 7m + 2$, где $m$ — некоторое целое число.

Из обеих записей видно, что если из числа $N$ вычесть 2, то полученная разность будет делиться нацело и на 10, и на 7.

$N - 2 = 10k$

$N - 2 = 7m$

Это означает, что число $N - 2$ является общим кратным для чисел 10 и 7. Чтобы найти общую формулу для всех таких чисел, необходимо найти их наименьшее общее кратное (НОК).

Найдем НОК(10, 7). Числа 10 и 7 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель равен 1. В таком случае их наименьшее общее кратное равно их произведению:

$НОК(10, 7) = 10 \times 7 = 70$.

Все общие кратные чисел 10 и 7 будут кратны 70. Следовательно, число $N-2$ можно представить в виде:

$N - 2 = 70n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Теперь выразим $N$ из этого равенства, чтобы получить искомую общую формулу:

$N = 70n + 2$.

Ответ: $N = 70n + 2$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

840. Найдите условие, при котором сумма данного двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, представляет точный квадрат натурального числа.

Пусть данное двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ – цифра десятков, а $b$ – цифра единиц. Поскольку число является двузначным, то $a$ – это натуральное число от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ – это целое неотрицательное число от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь вид $10b + a$.

Найдем сумму $S$ этих двух чисел: $S = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b$

Вынесем общий множитель за скобки: $S = 11(a + b)$

Согласно условию задачи, сумма $S$ должна быть точным квадратом натурального числа. Это означает, что $S = k^2$ для некоторого натурального числа $k$. Следовательно, мы имеем равенство: $11(a + b) = k^2$

Для того чтобы произведение $11(a + b)$ было точным квадратом, необходимо, чтобы в его разложении на простые множители все простые множители были в четной степени. Число 11 является простым, и в данном выражении оно присутствует в первой степени. Чтобы степень множителя 11 стала четной, необходимо, чтобы выражение $(a + b)$ было кратно 11.

Рассмотрим возможные значения суммы цифр $a + b$. Минимальное значение суммы $a + b$ достигается при $a=1$ и $b=0$, и оно равно $1+0=1$. Максимальное значение суммы $a + b$ достигается при $a=9$ и $b=9$, и оно равно $9+9=18$. Таким образом, $1 \le a + b \le 18$.

В найденном диапазоне для суммы $a+b$ есть только одно число, кратное 11, — это само число 11. Значит, единственно возможный вариант — это $a + b = 11$.

Проверим это условие. Если $a + b = 11$, то сумма $S$ равна: $S = 11 \cdot (a + b) = 11 \cdot 11 = 121$ Число 121 является точным квадратом натурального числа 11, так как $121 = 11^2$.

Следовательно, искомое условие состоит в том, что сумма цифр исходного двузначного числа должна быть равна 11.

Ответ: Сумма цифр данного двузначного числа должна быть равна 11.

841. Найдите условие, при котором разность между данным двузначным числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, представляет точный квадрат натурального числа.

Пусть данное двузначное число можно представить в виде $\overline{ab}$, где $a$ – это цифра десятков, а $b$ – цифра единиц. В десятичной системе счисления это число записывается как $10a + b$.

Поскольку число является двузначным, на его цифры накладываются следующие ограничения: $a$ — это натуральное число от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, \dots, 9\}$), а $b$ — это целое число от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, \dots, 9\}$).

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь вид $\overline{ba}$ и его значение равно $10b + a$.

Теперь найдем разность между исходным числом и числом с переставленными цифрами. Чтобы результат был положительным, возьмем модуль их разности, так как квадрат натурального числа не может быть отрицательным. $D = |(10a + b) - (10b + a)|$

Упростим полученное выражение: $D = |10a + b - 10b - a| = |9a - 9b| = 9|a - b|$

Согласно условию задачи, эта разность $D$ должна представлять собой точный квадрат натурального числа. Обозначим это натуральное число как $k$, где $k \in \mathbb{N}$. Тогда должно выполняться равенство: $D = k^2$

Подставив выражение для $D$, получаем уравнение: $9|a - b| = k^2$

Мы видим, что левая часть уравнения является произведением числа $9$ (которое само по себе является точным квадратом, $9 = 3^2$) и выражения $|a - b|$. Для того чтобы произведение $9|a - b|$ было точным квадратом, необходимо, чтобы множитель $|a - b|$ также был точным квадратом.

Пусть $|a - b| = m^2$, где $m$ — целое неотрицательное число. Тогда $D = 9 \cdot m^2 = (3m)^2$. Так как по условию $k$ является натуральным числом, $k$ должно быть больше нуля ($k>0$), что означает, что $m$ также должно быть больше нуля ($m>0$). Следовательно, $|a - b| \neq 0$, а значит $a \neq b$.

Теперь определим, какие значения может принимать $|a - b|$. Так как $a$ и $b$ — это цифры ($1 \le a \le 9$, $0 \le b \le 9$), их разность по модулю может быть целым числом в диапазоне от 1 до 9. (Например, минимальная ненулевая разность $|2 - 1| = 1$, а максимальная $|9 - 0| = 9$).

Нам нужно найти все точные квадраты среди целых чисел от 1 до 9. Такими числами являются:
$1^2 = 1$
$2^2 = 4$
$3^2 = 9$

Таким образом, условие, при котором разность между двузначным числом и "перевернутым" числом является точным квадратом, заключается в том, что модуль разности его цифр должен быть равен 1, 4 или 9.

Примеры для каждого случая:
- Если $|a - b| = 1$ (например, для числа 43), то разность $43 - 34 = 9 = 3^2$.
- Если $|a - b| = 4$ (например, для числа 73), то разность $73 - 37 = 36 = 6^2$.
- Если $|a - b| = 9$ (например, для числа 90), то разность $90 - 09 = 81 = 9^2$.

Ответ: Модуль разности между цифрой десятков и цифрой единиц данного двузначного числа должен быть точным квадратом. Учитывая, что эта разность не может превышать 9, она должна быть равна 1, 4 или 9.

842. Какой цифрой оканчивается произведение всех нечётных двузначных чисел?

Чтобы определить, какой цифрой оканчивается произведение, нам не нужно вычислять все произведение целиком. Достаточно проанализировать последние цифры сомножителей.

Нам нужно найти последнюю цифру произведения всех нечётных двузначных чисел. Двузначные числа — это числа от 10 до 99. Нечётные двузначные числа — это те из них, которые не делятся на 2. Таким образом, мы рассматриваем произведение:

$P = 11 \times 13 \times 15 \times 17 \times \dots \times 97 \times 99$

Среди сомножителей в этом произведении есть числа, которые оканчиваются на 5. Например, это числа 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95.

Вспомним правило умножения чисел:

• Если число, оканчивающееся на 5, умножить на любое чётное число, то результат будет оканчиваться на 0.
• Если число, оканчивающееся на 5, умножить на любое нечётное число, то результат будет оканчиваться на 5.

В нашем произведении все сомножители являются нечётными числами по условию задачи. Это означает, что мы умножаем число, оканчивающееся на 5 (например, 15), на другие нечётные числа (11, 13, 17 и т.д.).

Произведение любого количества нечётных чисел всегда является нечётным числом. Таким образом, произведение всех наших сомножителей будет нечётным числом.

Поскольку в произведении есть хотя бы один множитель, оканчивающийся на 5 (например, 15), и все остальные множители нечётные, то их итоговое произведение будет оканчиваться на 5.

Например, $11 \times 13 = 143$ (нечётное). Далее $143 \times 15 = 2145$. Результат оканчивается на 5. При дальнейшем умножении этого результата на другие нечётные числа (17, 19 и т.д.), последняя цифра будет оставаться 5, так как мы будем постоянно умножать число, оканчивающееся на 5, на нечётное число.

Ответ: 5

843. Сколькими нулями оканчивается произведение натуральных чисел от 1 до 20?

Чтобы определить, сколькими нулями оканчивается произведение натуральных чисел от 1 до 20, необходимо найти, сколько раз число 10 встречается в качестве множителя в этом произведении. Произведение натуральных чисел от 1 до 20 — это факториал числа 20, обозначаемый как $20!$.

$20! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 19 \cdot 20$

Каждый нуль в конце числа образуется произведением множителей 2 и 5, так как $10 = 2 \cdot 5$. Следовательно, количество нулей в конце числа $20!$ равно количеству пар множителей $(2, 5)$, которые можно составить из его простых делителей.

В произведении $20!$ множителей 2 всегда будет больше, чем множителей 5. Поэтому количество нулей определяется именно количеством множителей 5. Посчитаем, сколько раз 5 встречается в качестве множителя в числах от 1 до 20.

Множитель 5 содержат следующие числа в этом диапазоне:

• 5 (дает одну пятерку: $5 = 1 \cdot 5$)
• 10 (дает одну пятерку: $10 = 2 \cdot 5$)
• 15 (дает одну пятерку: $15 = 3 \cdot 5$)
• 20 (дает одну пятерку: $20 = 4 \cdot 5$)

Числа, кратные $25 = 5^2$, которые могли бы дать две пятерки, в этом диапазоне отсутствуют (первое такое число — 25).

Таким образом, общее количество множителей 5 в произведении $20!$ равно $1 + 1 + 1 + 1 = 4$.

Для сравнения, количество множителей 2 значительно больше. Посчитаем его по формуле Лежандра: $\lfloor\frac{20}{2}\rfloor + \lfloor\frac{20}{4}\rfloor + \lfloor\frac{20}{8}\rfloor + \lfloor\frac{20}{16}\rfloor = 10 + 5 + 2 + 1 = 18$.

Поскольку у нас есть 18 множителей 2 и только 4 множителя 5, мы можем образовать всего 4 пары $(2 \cdot 5)$. Это означает, что число $20!$ будет содержать множитель $10^4$, и, следовательно, будет оканчиваться на 4 нуля.

Ответ: Произведение натуральных чисел от 1 до 20 оканчивается четырьмя нулями.

844. Может ли сумма трёх последовательных натуральных чисел быть простым числом?

Для ответа на этот вопрос давайте проанализируем, какой вид имеет сумма трёх последовательных натуральных чисел. Обозначим первое из этих чисел как $n$. Поскольку мы рассматриваем натуральные числа, то $n$ должно быть целым положительным числом, то есть $n \ge 1$.

Тогда три последовательных натуральных числа можно записать как $n$, $n+1$ и $n+2$.

Теперь найдём их сумму, которую обозначим $S$:

$S = n + (n+1) + (n+2)$

Сложив переменные и числа, получим:

$S = 3n + 3$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$S = 3(n+1)$

Из полученного выражения видно, что сумма трёх последовательных натуральных чисел $S$ всегда является произведением двух множителей: 3 и $(n+1)$. Это означает, что сумма $S$ всегда делится на 3.

Простое число — это натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Единственное простое число, которое делится на 3, это само число 3. Все остальные числа, кратные 3 (например, 6, 9, 12 и т.д.), являются составными, так как они делятся не только на 1 и на себя, но и на 3.

Следовательно, для того чтобы сумма $S$ была простым числом, она должна быть равна 3. Проверим, при каком значении $n$ это возможно:

$3(n+1) = 3$

$n+1 = 1$

$n = 0$

Значение $n=0$ не является натуральным числом (в стандартном понимании, натуральные числа — это $1, 2, 3, \ldots$). Поэтому сумма трёх последовательных *натуральных* чисел не может быть равна 3.

Поскольку наименьшее натуральное число $n=1$, то наименьшая возможная сумма будет:

$S = 3(1+1) = 6$

Число 6 является составным. Для любого другого натурального $n > 1$, сумма $S = 3(n+1)$ будет числом, которое больше 6 и также делится на 3, а значит, является составным.

Таким образом, сумма трёх последовательных натуральных чисел всегда является составным числом, кратным трём и большим или равным шести.

Ответ: Нет, не может.