Номер 844, страница 259 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

844. Может ли сумма трёх последовательных натуральных чисел быть простым числом?

Для ответа на этот вопрос давайте проанализируем, какой вид имеет сумма трёх последовательных натуральных чисел. Обозначим первое из этих чисел как $n$. Поскольку мы рассматриваем натуральные числа, то $n$ должно быть целым положительным числом, то есть $n \ge 1$.

Тогда три последовательных натуральных числа можно записать как $n$, $n+1$ и $n+2$.

Теперь найдём их сумму, которую обозначим $S$:

$S = n + (n+1) + (n+2)$

Сложив переменные и числа, получим:

$S = 3n + 3$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$S = 3(n+1)$

Из полученного выражения видно, что сумма трёх последовательных натуральных чисел $S$ всегда является произведением двух множителей: 3 и $(n+1)$. Это означает, что сумма $S$ всегда делится на 3.

Простое число — это натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Единственное простое число, которое делится на 3, это само число 3. Все остальные числа, кратные 3 (например, 6, 9, 12 и т.д.), являются составными, так как они делятся не только на 1 и на себя, но и на 3.

Следовательно, для того чтобы сумма $S$ была простым числом, она должна быть равна 3. Проверим, при каком значении $n$ это возможно:

$3(n+1) = 3$

$n+1 = 1$

$n = 0$

Значение $n=0$ не является натуральным числом (в стандартном понимании, натуральные числа — это $1, 2, 3, \ldots$). Поэтому сумма трёх последовательных *натуральных* чисел не может быть равна 3.

Поскольку наименьшее натуральное число $n=1$, то наименьшая возможная сумма будет:

$S = 3(1+1) = 6$

Число 6 является составным. Для любого другого натурального $n > 1$, сумма $S = 3(n+1)$ будет числом, которое больше 6 и также делится на 3, а значит, является составным.

Таким образом, сумма трёх последовательных натуральных чисел всегда является составным числом, кратным трём и большим или равным шести.

Ответ: Нет, не может.