Номер 847, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

847. Докажите, что произведение двух последовательных натуральных чисел не может быть равным $25k+1$ ни при каком натуральном $k$.

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что существуют такие натуральные числа n и k, для которых выполняется равенство:

$n(n+1) = 25k + 1$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно n:

$n^2 + n = 25k + 1$

$n^2 + n - (25k + 1) = 0$

Поскольку по условию n — натуральное число, это квадратное уравнение должно иметь хотя бы один целый положительный корень. Для того чтобы корни квадратного уравнения были рациональными числами, его дискриминант D должен быть полным квадратом.

Найдем дискриминант этого уравнения ($a=1$, $b=1$, $c=-(25k+1)$):

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(25k+1)) = 1 + 4(25k+1) = 1 + 100k + 4 = 100k + 5$

Итак, для существования целочисленного решения n необходимо, чтобы дискриминант $D = 100k + 5$ был полным квадратом некоторого целого числа m.

$m^2 = 100k + 5$

Рассмотрим это равенство. Правая часть $100k + 5$ делится на 5, так как $100k$ делится на 5 и 5 делится на 5. Следовательно, и левая часть $m^2$ должна делиться на 5.

Если квадрат числа ($m^2$) делится на простое число (в нашем случае 5), то и само число (m) должно делиться на это простое число. Таким образом, m кратно 5. Представим m в виде $m = 5j$, где j — некоторое целое число.

Подставим $m = 5j$ в наше уравнение для дискриминанта:

$(5j)^2 = 100k + 5$

$25j^2 = 100k + 5$

Разделим обе части этого равенства на 5:

$5j^2 = 20k + 1$

Теперь проанализируем полученное равенство. Левая часть, $5j^2$, очевидно, делится на 5 нацело для любого целого j.

Правая часть, $20k + 1$, при делении на 5 даёт в остатке 1, так как $20k$ делится на 5 нацело.

Таким образом, мы получили, что число, кратное 5 (левая часть), равно числу, которое не кратно 5 (правая часть). Это является противоречием.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании таких натуральных n и k было неверным. Следовательно, произведение двух последовательных натуральных чисел не может быть равным $25k+1$ ни при каком натуральном k. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.