Номер 848, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

848. Докажите, что если некоторое число при делении на 9 даёт остаток 1 или 8, то квадрат этого числа при делении на 9 даёт остаток 1.

Для доказательства этого утверждения необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от остатка, который даёт исходное число при делении на 9. Пусть $N$ — это некоторое число.

Случай 1: число $N$ при делении на 9 даёт остаток 1.
Согласно определению деления с остатком, такое число $N$ можно представить в виде:
$N = 9k + 1$, где $k$ — некоторое целое число (неполное частное).
Теперь найдём квадрат этого числа:
$N^2 = (9k + 1)^2$
Применяя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, получаем:
$N^2 = (9k)^2 + 2 \cdot (9k) \cdot 1 + 1^2 = 81k^2 + 18k + 1$
Чтобы найти остаток от деления на 9, вынесем общий множитель 9 за скобки:
$N^2 = 9(9k^2 + 2k) + 1$
Пусть $m = 9k^2 + 2k$. Поскольку $k$ — целое число, $m$ также является целым числом. Тогда выражение для $N^2$ можно записать как $N^2 = 9m + 1$. Это означает, что при делении квадрата числа $N$ на 9 в остатке получается 1.

Случай 2: число $N$ при делении на 9 даёт остаток 8.
В этом случае число $N$ можно представить в виде:
$N = 9k + 8$, где $k$ — некоторое целое число.
Найдём квадрат этого числа:
$N^2 = (9k + 8)^2$
Используя ту же формулу квадрата суммы, получаем:
$N^2 = (9k)^2 + 2 \cdot (9k) \cdot 8 + 8^2 = 81k^2 + 144k + 64$
Чтобы найти остаток от деления на 9, проанализируем каждое слагаемое. Слагаемые $81k^2$ и $144k$ делятся на 9 без остатка, так как $81 = 9 \cdot 9$ и $144 = 9 \cdot 16$. Рассмотрим последнее слагаемое, 64. При делении 64 на 9 получаем 7 и остаток 1, то есть $64 = 9 \cdot 7 + 1$.
Теперь подставим это в выражение для $N^2$ и вынесем общий множитель 9 за скобки:
$N^2 = 81k^2 + 144k + (9 \cdot 7 + 1) = 9(9k^2 + 16k + 7) + 1$
Пусть $p = 9k^2 + 16k + 7$. Поскольку $k$ — целое число, $p$ также является целым числом. Тогда выражение для $N^2$ можно записать как $N^2 = 9p + 1$. Это означает, что и в этом случае при делении квадрата числа $N$ на 9 в остатке получается 1.

Таким образом, мы доказали, что если некоторое число при делении на 9 даёт остаток 1 или 8, то его квадрат при делении на 9 всегда даёт остаток 1.

Ответ: Утверждение доказано путём рассмотрения двух возможных случаев. В обоих случаях показано, что квадрат числа можно представить в виде $9m+1$, где $m$ — целое число, что означает, что остаток от деления на 9 равен 1.