Номер 852, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

852. Найдите цифры $a$ и $b$ пятизначного числа $\overline{42a4b}$, если известно, что это число делится нацело на 72.

Для того чтобы пятизначное число $\overline{42a4b}$ делилось нацело на 72, оно должно одновременно делиться на 8 и на 9, так как $72 = 8 \cdot 9$ и числа 8 и 9 являются взаимно простыми.

1. Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Найдем сумму цифр числа $\overline{42a4b}$: $S = 4 + 2 + a + 4 + b = 10 + a + b$. Эта сумма должна быть кратна 9. Поскольку $a$ и $b$ — это цифры, они могут принимать значения от 0 до 9. Следовательно, $0 \le a+b \le 18$, а значит $10 \le S \le 28$. В этом диапазоне есть два числа, кратных 9: 18 и 27. Рассмотрим два возможных случая:
1) $10 + a + b = 18 \implies a + b = 8$.
2) $10 + a + b = 27 \implies a + b = 17$.

2. Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. В нашем случае это число $\overline{a4b}$. Значение этого числа равно $100a + 40 + b$. Это число должно делиться на 8. Так как слагаемое $40$ делится на 8, то и сумма $100a + b$ должна делиться на 8. Представим $100a$ в виде $96a + 4a$. Так как $96a$ всегда делится на 8 (поскольку $96 = 12 \cdot 8$), то для делимости на 8 всего числа $\overline{a4b}$ необходимо и достаточно, чтобы сумма $4a + b$ делилась на 8.

3. Объединение условий и нахождение цифр
Теперь объединим условия, полученные из обоих признаков делимости, для каждого из двух случаев.

Случай 1: $a + b = 8$
Имеем систему уравнений и условий:
$a + b = 8$
$4a+b$ должно делиться на 8
Из первого уравнения выразим $b$: $b = 8 - a$. Подставим это во второе условие: $4a + (8 - a) = 3a + 8$. Это выражение должно делиться на 8. Так как 8 делится на 8, то и $3a$ должно делиться на 8. Поскольку числа 3 и 8 взаимно просты, $a$ должно быть кратно 8. Так как $a$ — это цифра, то $a$ может быть равно 0 или 8.
- Если $a = 0$, то $b = 8 - 0 = 8$.
- Если $a = 8$, то $b = 8 - 8 = 0$.
Таким образом, в этом случае мы получаем две пары решений: $(a,b) = (0,8)$ и $(a,b) = (8,0)$.

Случай 2: $a + b = 17$
Имеем систему:
$a + b = 17$
$4a+b$ должно делиться на 8
Выразим $b = 17 - a$ и подставим во второе условие: $4a + (17 - a) = 3a + 17$. Это выражение должно делиться на 8. Представим его как $3a + 16 + 1$. Так как 16 делится на 8, то $3a + 1$ должно делиться на 8. Проверим все возможные значения $a$ от 0 до 9. Единственное значение, при котором $3a+1$ делится на 8, это $a=5$ (так как $3 \cdot 5 + 1 = 16$). Но если $a=5$, то из первого уравнения $b = 17 - 5 = 12$. Это значение не является цифрой.
Следовательно, в этом случае решений нет.

Итак, существуют две возможные пары цифр $a$ и $b$.
Ответ: $a = 0, b = 8$ или $a = 8, b = 0$.