Номер 859, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

859. a) Найдите сумму квадратов первых $n$ чётных чисел.

б) Найдите сумму квадратов первых $n$ нечётных чисел.

а) Для нахождения суммы квадратов первых $n$ чётных чисел, мы сначала определяем, что это за числа. Первые $n$ чётных натуральных чисел — это $2, 4, 6, \dots, 2n$. Общий член этой последовательности можно записать как $a_k = 2k$, где $k$ принимает значения от 1 до $n$. Искомая сумма, обозначим её $S_ч$, является суммой квадратов этих чисел:

$S_ч = 2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + (2n)^2 = \sum_{k=1}^{n} (2k)^2$

Каждое слагаемое в сумме можно преобразовать: $(2k)^2 = 4k^2$. Это позволяет вынести общий множитель 4 за знак суммы:

$S_ч = \sum_{k=1}^{n} 4k^2 = 4 \sum_{k=1}^{n} k^2$

Далее мы используем известную формулу суммы квадратов первых $n$ натуральных чисел:

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Подставим эту формулу в наше выражение для $S_ч$:

$S_ч = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Остаётся только упростить полученное выражение, сократив числитель и знаменатель на 2:

$S_ч = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$

Ответ: $\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$

б) Для нахождения суммы квадратов первых $n$ нечётных чисел, мы определяем, что первые $n$ нечётных чисел — это $1, 3, 5, \dots, 2n-1$. Общий член этой последовательности можно записать как $a_k = 2k-1$, где $k$ принимает значения от 1 до $n$. Искомая сумма, обозначим её $S_н$, является суммой квадратов этих чисел:

$S_н = 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2$

Чтобы вычислить эту сумму, сначала раскроем квадрат разности под знаком суммы:

$S_н = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k + 1)$

Используя свойство линейности суммы, мы можем разбить её на три отдельные суммы:

$S_н = \sum_{k=1}^{n} 4k^2 - \sum_{k=1}^{n} 4k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

Теперь подставим известные формулы для сумм степеней натуральных чисел:
Сумма квадратов: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Сумма первых $n$ чисел (арифметическая прогрессия): $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$
Сумма единиц: $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

Подставляем эти формулы в выражение для $S_н$ и начинаем упрощение:

$S_н = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки для дальнейшего упрощения:

$S_н = n \left[ \frac{2(n+1)(2n+1)}{3} - 2(n+1) + 1 \right]$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю 3:

$S_н = n \left[ \frac{2(2n^2+3n+1) - 6(n+1) + 3}{3} \right] = n \left[ \frac{4n^2+6n+2 - 6n-6 + 3}{3} \right]$

После приведения подобных слагаемых в числителе получаем:

$S_н = n \left( \frac{4n^2 - 1}{3} \right)$

Заметим, что выражение $4n^2 - 1$ является разностью квадратов: $(2n)^2 - 1^2 = (2n-1)(2n+1)$. Подставив это разложение, мы получим окончательную формулу:

$S_н = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

Ответ: $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$