Номер 862, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

862. Докажите, что при любом целом значении $k$ число $k^3 + 3k^2 + 2k$ делится на 6.

Для того чтобы доказать, что число $k^3 + 3k^2 + 2k$ делится на 6 при любом целом значении $k$, преобразуем данное выражение, разложив его на множители.

1. Вынесем общий множитель $k$ за скобки:
$k^3 + 3k^2 + 2k = k(k^2 + 3k + 2)$

2. Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $k^2 + 3k + 2$. Для этого можно найти его корни. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $2$. Легко подобрать корни: $k_1 = -1$ и $k_2 = -2$.
Следовательно, квадратный трехчлен можно разложить следующим образом:
$k^2 + 3k + 2 = (k - k_1)(k - k_2) = (k - (-1))(k - (-2)) = (k+1)(k+2)$

3. Подставим разложение квадратного трехчлена в исходное выражение:
$k^3 + 3k^2 + 2k = k(k+1)(k+2)$

Полученное выражение $k(k+1)(k+2)$ представляет собой произведение трех последовательных целых чисел.

Чтобы доказать, что это произведение делится на 6, нужно доказать, что оно делится на 2 и на 3 одновременно (поскольку числа 2 и 3 взаимно простые, а их произведение равно 6).

• Делимость на 2: Среди трех последовательных целых чисел ($k$, $k+1$, $k+2$) всегда есть как минимум одно четное число (т.е. число, делящееся на 2). Поэтому их произведение всегда будет делиться на 2.
• Делимость на 3: Среди любых трех последовательных целых чисел всегда есть ровно одно число, которое делится на 3. Поэтому их произведение всегда будет делиться на 3.

Поскольку выражение $k(k+1)(k+2)$ делится и на 2, и на 3, оно гарантированно делится на их произведение, то есть на 6, при любом целом значении $k$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Выражение $k^3 + 3k^2 + 2k$ было преобразовано к виду $k(k+1)(k+2)$, что является произведением трех последовательных целых чисел. Такое произведение всегда делится на 2 (так как содержит хотя бы одно четное число) и на 3 (так как содержит одно число, кратное трем), а следовательно, делится и на 6.