Номер 865, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

865. Докажите, что если B — целое число, то число $B^2(B^2 - 1)$ делится на 4.

Для того чтобы доказать, что выражение $B^2(B^2 - 1)$ делится на 4 при любом целом $B$, необходимо рассмотреть два случая: когда $B$ является четным числом и когда $B$ является нечетным числом. Любое целое число является либо четным, либо нечетным.

Случай 1: $B$ — четное число.

Если $B$ — четное, то его можно представить в виде $B = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Возведем $B$ в квадрат:

$B^2 = (2k)^2 = 4k^2$

Полученное выражение $4k^2$ очевидно делится на 4, так как содержит множитель 4. Следовательно, и все произведение $B^2(B^2 - 1)$ будет делиться на 4, поскольку один из его множителей, $B^2$, делится на 4.

Случай 2: $B$ — нечетное число.

Если $B$ — нечетное, то его можно представить в виде $B = 2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число. В этом случае множитель $B^2$ не будет делиться на 4. Рассмотрим второй множитель, $(B^2 - 1)$. Подставим в него выражение для нечетного числа $B$:

$B^2 - 1 = (2k + 1)^2 - 1$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$(4k^2 + 4k + 1) - 1 = 4k^2 + 4k$

Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4(k^2 + k)$

Так как $k$ — целое число, то $k^2 + k$ также является целым числом. Таким образом, выражение $(B^2 - 1)$ для любого нечетного $B$ делится на 4. Следовательно, и все произведение $B^2(B^2 - 1)$ будет делиться на 4, поскольку один из его множителей, $(B^2 - 1)$, делится на 4.

Мы доказали, что утверждение верно для четных и для нечетных чисел $B$. Таким образом, оно верно для любого целого числа $B$.

Ответ: Что и требовалось доказать.