Номер 870, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

870. Сумма двух натуральных чисел больше $360$, но меньше $400$. Наибольший общий делитель этих чисел — $32$. Найдите эти числа, если ни одно из них не является делителем другого.

Пусть искомые натуральные числа — это $a$ и $b$.

1. Выразим числа через их наибольший общий делитель (НОД).
По условию, $\text{НОД}(a, b) = 32$. Это значит, что $a$ и $b$ можно представить в виде:
$a = 32 \cdot m$ и $b = 32 \cdot n$,
где $m$ и $n$ — натуральные и взаимно простые числа, то есть $\text{НОД}(m, n) = 1$.

2. Используем условие о сумме чисел.
Известно, что сумма чисел находится в пределах от 360 до 400:
$360 < a + b < 400$.
Подставим выражения для $a$ и $b$:
$360 < 32m + 32n < 400$.
Вынесем общий множитель 32 за скобки:
$360 < 32(m + n) < 400$.
Разделим все части неравенства на 32:
$\frac{360}{32} < m + n < \frac{400}{32}$,
$11.25 < m + n < 12.5$.

3. Определим сумму $m + n$.
Так как $m$ и $n$ — натуральные числа, их сумма $m + n$ — целое число. Единственное целое число в интервале $(11.25, 12.5)$ — это 12.
Следовательно, $m + n = 12$.

4. Найдем подходящие пары $m$ и $n$.
Нам нужны пары взаимно простых натуральных чисел, сумма которых равна 12. Будем считать $m < n$ для избежания повторов.
Пары $(m,n)$ с суммой 12: $(1, 11), (2, 10), (3, 9), (4, 8), (5, 7)$.
Проверим их на взаимную простоту:
- $\text{НОД}(1, 11) = 1$ — подходит.
- $\text{НОД}(2, 10) = 2$ — не подходит.
- $\text{НОД}(3, 9) = 3$ — не подходит.
- $\text{НОД}(4, 8) = 4$ — не подходит.
- $\text{НОД}(5, 7) = 1$ — подходит.
Остаются две возможные пары: $(1, 11)$ и $(5, 7)$.

5. Проверим условие делимости.
По условию, ни одно из искомых чисел не является делителем другого. Это значит, что $m$ не должно делить $n$, и $n$ не должно делить $m$.
- Для пары $(1, 11)$: $m=1, n=11$. Здесь $m$ делит $n$ (1 делит 11). Соответствующие числа $a=32 \cdot 1=32$ и $b=32 \cdot 11=352$. Так как 32 является делителем 352, эта пара не удовлетворяет условию.
- Для пары $(5, 7)$: $m=5, n=7$. Здесь 5 не делит 7, и 7 не делит 5. Эта пара подходит.

6. Вычислим искомые числа.
Единственная подходящая пара $(m, n)$ — это $(5, 7)$. Найдем $a$ и $b$:
$a = 32 \cdot 5 = 160$
$b = 32 \cdot 7 = 224$
Проверим полученные числа: $160+224 = 384$, что находится в интервале $(360, 400)$. $\text{НОД}(160, 224)=32$. 160 не является делителем 224. Все условия соблюдены.

Ответ: 160 и 224.