Номер 864, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

864. Докажите, что если в трёхзначном числе две последние цифры одинаковы, а сумма его цифр делится на 7, то и само число делится на 7.

Пусть искомое трёхзначное число можно представить в виде $\overline{abc}$, где $a$ - цифра сотен ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), $b$ - цифра десятков, а $c$ - цифра единиц ($b, c \in \{0, 1, ..., 9\}$). Значение этого числа $N$ равно $N = 100a + 10b + c$.

По условию задачи, две последние цифры числа одинаковы, то есть $c = b$. Тогда запись числа $N$ принимает вид:

$N = 100a + 10b + b = 100a + 11b$

Также по условию, сумма цифр этого числа делится на 7. Сумма цифр равна $a + b + c$. Так как $c = b$, сумма цифр равна $a + b + b = a + 2b$.

Делимость суммы цифр на 7 означает, что существует такое целое число $k$, что выполняется равенство:

$a + 2b = 7k$

Из этого равенства выразим цифру $a$ через $b$ и $k$:

$a = 7k - 2b$

Теперь подставим это выражение для $a$ в формулу для числа $N$:

$N = 100(7k - 2b) + 11b$

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

$N = 100 \cdot 7k - 100 \cdot 2b + 11b = 700k - 200b + 11b = 700k - 189b$

Чтобы доказать, что $N$ делится на 7, проанализируем полученное выражение. Оно представляет собой разность двух слагаемых: $700k$ и $189b$.

• Первое слагаемое, $700k$, делится на 7, так как $700 = 7 \cdot 100$.
• Второе слагаемое, $189b$, также делится на 7, так как $189 = 7 \cdot 27$.

Поскольку оба слагаемых в выражении $700k - 189b$ делятся на 7, их разность также делится на 7. Для наглядности вынесем множитель 7 за скобки:

$N = 7 \cdot 100k - 7 \cdot 27b = 7(100k - 27b)$

Так как $k$ и $b$ - целые числа, то выражение в скобках $(100k - 27b)$ также является целым числом. Следовательно, число $N$ представлено как произведение числа 7 на целое число, что по определению означает, что $N$ делится на 7. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если в трёхзначном числе две последние цифры одинаковы, а сумма его цифр делится на 7, то и само число делится на 7.