Номер 861, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Доказываем (861–865).

861. а) Докажите, что трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37.

б) Докажите, что четырёхзначное число, записанное четырьмя одинаковыми цифрами, делится на 101.

Пусть у нас есть трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами a, где a — целое число от 1 до 9. Такое число можно записать в виде $\overline{aaa}$.

Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:

$\overline{aaa} = a \cdot 100 + a \cdot 10 + a \cdot 1$

Вынесем общий множитель a за скобки:

$a \cdot (100 + 10 + 1) = a \cdot 111$

Для того чтобы доказать, что число $\overline{aaa}$ делится на 37, нам нужно доказать, что произведение $a \cdot 111$ делится на 37. Согласно свойству делимости, если один из множителей делится на некоторое число, то и всё произведение делится на это число.

Проверим, делится ли число 111 на 37:

$111 \div 37 = 3$

Так как 111 делится на 37 без остатка ($111 = 3 \cdot 37$), то мы можем переписать исходное выражение:

$\overline{aaa} = a \cdot 111 = a \cdot (3 \cdot 37)$

В полученном произведении присутствует множитель 37. Следовательно, любое трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37.

Ответ: Доказано.

Пусть у нас есть четырёхзначное число, записанное четырьмя одинаковыми цифрами b, где b — целое число от 1 до 9. Такое число можно записать в виде $\overline{bbbb}$.

Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:

$\overline{bbbb} = b \cdot 1000 + b \cdot 100 + b \cdot 10 + b \cdot 1$

Вынесем общий множитель b за скобки:

$b \cdot (1000 + 100 + 10 + 1) = b \cdot 1111$

Для того чтобы доказать, что число $\overline{bbbb}$ делится на 101, нам нужно доказать, что произведение $b \cdot 1111$ делится на 101.

Проверим, делится ли число 1111 на 101:

$1111 \div 101 = 11$

Так как 1111 делится на 101 без остатка ($1111 = 11 \cdot 101$), то мы можем переписать исходное выражение:

$\overline{bbbb} = b \cdot 1111 = b \cdot (11 \cdot 101)$

В полученном произведении присутствует множитель 101. Следовательно, любое четырёхзначное число, записанное четырьмя одинаковыми цифрами, делится на 101.

Ответ: Доказано.