Номер 855, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

855. Доказываем. Докажите, что если $n > 1$ и $n$ — нечётное число, то число вида $n^{12} - n^8 - n^4 + 1$ делится нацело на 128.

Для доказательства того, что число вида $n^{12} - n^8 - n^4 + 1$ делится нацело на 128, если $n > 1$ и $n$ — нечётное число, сначала преобразуем данное выражение, разложив его на множители.

Пусть $A = n^{12} - n^8 - n^4 + 1$. Сгруппируем слагаемые:
$A = (n^{12} - n^8) - (n^4 - 1) = n^8(n^4 - 1) - (n^4 - 1)$
Вынеся общий множитель $(n^4 - 1)$, получим:
$A = (n^8 - 1)(n^4 - 1)$
Применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к первому множителю, имеем $n^8 - 1 = (n^4 - 1)(n^4 + 1)$. Подставим это в выражение для $A$:
$A = (n^4 - 1)(n^4 + 1)(n^4 - 1) = (n^4 - 1)^2 (n^4 + 1)$

Теперь проанализируем делимость полученных множителей на степени числа 2, так как $128 = 2^7$. По условию $n$ — нечётное число. Любое нечётное число $n$ можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — целое число. Так как $n > 1$, то $k \ge 1$.
Рассмотрим квадрат $n$:
$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1$.
Произведение двух последовательных целых чисел $k(k+1)$ всегда является чётным числом. Пусть $k(k+1) = 2m$ для некоторого целого $m$.
Тогда $n^2 = 4(2m) + 1 = 8m + 1$.
Это означает, что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1, что можно записать как $n^2 \equiv 1 \pmod{8}$.

Используя этот результат, проанализируем множители выражения $A$.
Во-первых, рассмотрим множитель $n^4 - 1 = (n^2 - 1)(n^2 + 1)$.
Из $n^2 = 8m + 1$ следует, что $n^2 - 1 = 8m$, то есть $(n^2 - 1)$ делится нацело на 8.
Для второго сомножителя имеем $n^2 + 1 = (8m + 1) + 1 = 8m + 2 = 2(4m + 1)$. Так как $4m+1$ — нечётное число, то $(n^2 + 1)$ делится на 2, но не на 4.
Следовательно, произведение $(n^4 - 1) = (n^2 - 1)(n^2 + 1)$ делится на $8 \times 2 = 16$.

Во-вторых, рассмотрим множитель $n^4 + 1$.
Так как $n^2 = 8m+1$, возведём это в квадрат, чтобы найти $n^4$:
$n^4 = (n^2)^2 = (8m+1)^2 = 64m^2 + 16m + 1 = 16(4m^2+m) + 1$.
Это значит, что $n^4 \equiv 1 \pmod{16}$.
Тогда $n^4 + 1$ при делении на 16 даёт в остатке $1+1=2$. То есть $n^4+1 = 16j+2 = 2(8j+1)$ для некоторого целого $j$. Поскольку $8j+1$ нечётно, множитель $(n^4+1)$ делится на 2, но не на 4.

Наконец, вернёмся к выражению $A = (n^4 - 1)^2 (n^4 + 1)$.
Мы установили, что $(n^4 - 1)$ делится на 16. Значит, $(n^4 - 1)^2$ делится на $16^2 = 256$.
Мы также установили, что $(n^4 + 1)$ делится на 2.
Следовательно, всё выражение $A$ делится на произведение $256 \times 2 = 512$.

Поскольку $512$ делится на $128$ ($512 = 4 \times 128$), то и число $A = n^{12} - n^8 - n^4 + 1$ также делится нацело на 128, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Число $n^{12} - n^8 - n^4 + 1$ при нечётном $n > 1$ всегда делится на 128.