Номер 850, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

850. Найдите двузначное число, равное удвоенному произведению его цифр.

Пусть искомое двузначное число состоит из цифры десятков $a$ и цифры единиц $b$. Тогда значение этого числа можно записать в виде $10a + b$.

По условию задачи, $a$ - это целое число от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ - целое число от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Произведение цифр этого числа равно $a \cdot b$. Удвоенное произведение цифр равно $2 \cdot a \cdot b$.

Согласно условию, число равно удвоенному произведению его цифр. Можем составить уравнение: $10a + b = 2ab$

Для решения этого уравнения выразим переменную $b$ через $a$: $10a = 2ab - b$ $10a = b(2a - 1)$ $b = \frac{10a}{2a - 1}$

Теперь будем подставлять возможные значения $a$ (от 1 до 9) и проверять, будет ли $b$ целой цифрой (от 0 до 9). Для упрощения перебора можно преобразовать дробь, выделив целую часть: $b = \frac{5(2a)}{2a - 1} = \frac{5(2a - 1 + 1)}{2a - 1} = \frac{5(2a - 1)}{2a - 1} + \frac{5}{2a - 1} = 5 + \frac{5}{2a - 1}$

Чтобы $b$ было целым числом, выражение $\frac{5}{2a - 1}$ должно быть целым. Это означает, что знаменатель $(2a - 1)$ должен быть делителем числа 5. Делителями числа 5 являются $1, -1, 5, -5$.

Рассмотрим эти случаи:
1. Если $2a - 1 = 1$, то $2a = 2$, и $a = 1$. Тогда $b = 5 + \frac{5}{1} = 10$. Это значение не является цифрой.
2. Если $2a - 1 = 5$, то $2a = 6$, и $a = 3$. Тогда $b = 5 + \frac{5}{5} = 5 + 1 = 6$. Эта пара ($a=3, b=6$) является решением.
3. Если $2a - 1 = -1$, то $2a = 0$, и $a = 0$. Это значение не подходит, так как число должно быть двузначным.
4. Если $2a - 1 = -5$, то $2a = -4$, и $a = -2$. Это значение не является цифрой.

Единственная пара, удовлетворяющая всем условиям, это $a = 3$ и $b = 6$. Таким образом, искомое число равно 36.

Проверка:
Число: 36.
Удвоенное произведение его цифр: $2 \cdot (3 \cdot 6) = 2 \cdot 18 = 36$.
$36 = 36$. Верно.

Ответ: 36