Номер 846, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

846. Докажите, что разность трёхзначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9. Делится ли эта разность на 27?

Докажите, что разность трёхзначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.

Пусть исходное трёхзначное число представлено как $\overline{abc}$, где $a$ — цифра сотен, $b$ — цифра десятков, а $c$ — цифра единиц. В виде суммы разрядных слагаемых это число записывается как $100a + 10b + c$. При этом, поскольку число трёхзначное, $a$ может быть любой цифрой от 1 до 9, а $b$ и $c$ — от 0 до 9.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет $\overline{cba}$. Его значение равно $100c + 10b + a$.

Теперь найдем модуль разности этих двух чисел. Неважно, какое из чисел больше, так как на делимость знак не влияет.

Разность равна: $$ |(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)| $$ Раскроем скобки и упростим выражение: $$ |100a + 10b + c - 100c - 10b - a| = |(100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c)| = |99a - 99c| $$ Вынесем общий множитель 99 за скобки: $$ |99(a - c)| = 99 \cdot |a - c| $$

Полученное выражение $99 \cdot |a - c|$ содержит множитель 99. Так как $99 = 9 \times 11$, то выражение можно записать как $9 \times 11 \times |a - c|$. Поскольку $a$ и $c$ — это целые числа (цифры), их разность $|a-c|$ также является целым числом. Следовательно, вся разность является произведением целых чисел, одним из которых является 9. Это доказывает, что разность трёхзначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, всегда делится на 9.

Ответ: Разность доказанно делится на 9, так как она всегда равна $99 \cdot |a - c|$, где $a$ и $c$ — первая и последняя цифры числа.

Делится ли эта разность на 27?

Мы установили, что разность чисел равна $99(a - c)$. Чтобы проверить, делится ли эта разность на 27, нужно проанализировать выражение $\frac{99(a - c)}{27}$.

Упростим дробь, сократив числитель и знаменатель на 9: $$ \frac{99(a - c)}{27} = \frac{9 \times 11 \times (a - c)}{9 \times 3} = \frac{11(a - c)}{3} $$

Чтобы результат деления был целым числом, необходимо, чтобы числитель $11(a - c)$ делился на 3. Так как 11 — простое число и на 3 не делится, то на 3 должна делиться разность цифр $(a - c)$.

Однако это условие выполняется не для всех трёхзначных чисел. Разность первой и последней цифр $(a - c)$ не всегда кратна 3.

Приведем контрпример. Возьмем число 211. Здесь $a=2, c=1$. Разность $(a - c) = 2 - 1 = 1$, что не делится на 3.

Исходное число: 211.
Число в обратном порядке: 112.
Их разность: $211 - 112 = 99$.

Проверим делимость на 27: $$ \frac{99}{27} = \frac{11}{3} $$ Результат не является целым числом. Следовательно, 99 не делится на 27.

Таким образом, разность не всегда делится на 27. Это происходит только тогда, когда разность между первой и последней цифрами числа кратна 3 (например, для числа 724, где $a=7, c=4$ и $a-c=3$, разность $724-427=297$ делится на 27, так как $297 = 27 \times 11$).

Ответ: Нет, эта разность не всегда делится на 27. Она делится на 27 только в том случае, если разность между первой и последней цифрами исходного числа кратна 3.