Номер 841, страница 259 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

841. Найдите условие, при котором разность между данным двузначным числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, представляет точный квадрат натурального числа.

Пусть данное двузначное число можно представить в виде $\overline{ab}$, где $a$ – это цифра десятков, а $b$ – цифра единиц. В десятичной системе счисления это число записывается как $10a + b$.

Поскольку число является двузначным, на его цифры накладываются следующие ограничения: $a$ — это натуральное число от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, \dots, 9\}$), а $b$ — это целое число от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, \dots, 9\}$).

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь вид $\overline{ba}$ и его значение равно $10b + a$.

Теперь найдем разность между исходным числом и числом с переставленными цифрами. Чтобы результат был положительным, возьмем модуль их разности, так как квадрат натурального числа не может быть отрицательным. $D = |(10a + b) - (10b + a)|$

Упростим полученное выражение: $D = |10a + b - 10b - a| = |9a - 9b| = 9|a - b|$

Согласно условию задачи, эта разность $D$ должна представлять собой точный квадрат натурального числа. Обозначим это натуральное число как $k$, где $k \in \mathbb{N}$. Тогда должно выполняться равенство: $D = k^2$

Подставив выражение для $D$, получаем уравнение: $9|a - b| = k^2$

Мы видим, что левая часть уравнения является произведением числа $9$ (которое само по себе является точным квадратом, $9 = 3^2$) и выражения $|a - b|$. Для того чтобы произведение $9|a - b|$ было точным квадратом, необходимо, чтобы множитель $|a - b|$ также был точным квадратом.

Пусть $|a - b| = m^2$, где $m$ — целое неотрицательное число. Тогда $D = 9 \cdot m^2 = (3m)^2$. Так как по условию $k$ является натуральным числом, $k$ должно быть больше нуля ($k>0$), что означает, что $m$ также должно быть больше нуля ($m>0$). Следовательно, $|a - b| \neq 0$, а значит $a \neq b$.

Теперь определим, какие значения может принимать $|a - b|$. Так как $a$ и $b$ — это цифры ($1 \le a \le 9$, $0 \le b \le 9$), их разность по модулю может быть целым числом в диапазоне от 1 до 9. (Например, минимальная ненулевая разность $|2 - 1| = 1$, а максимальная $|9 - 0| = 9$).

Нам нужно найти все точные квадраты среди целых чисел от 1 до 9. Такими числами являются:
$1^2 = 1$
$2^2 = 4$
$3^2 = 9$

Таким образом, условие, при котором разность между двузначным числом и "перевернутым" числом является точным квадратом, заключается в том, что модуль разности его цифр должен быть равен 1, 4 или 9.

Примеры для каждого случая:
- Если $|a - b| = 1$ (например, для числа 43), то разность $43 - 34 = 9 = 3^2$.
- Если $|a - b| = 4$ (например, для числа 73), то разность $73 - 37 = 36 = 6^2$.
- Если $|a - b| = 9$ (например, для числа 90), то разность $90 - 09 = 81 = 9^2$.

Ответ: Модуль разности между цифрой десятков и цифрой единиц данного двузначного числа должен быть точным квадратом. Учитывая, что эта разность не может превышать 9, она должна быть равна 1, 4 или 9.