Номер 840, страница 259 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

840. Найдите условие, при котором сумма данного двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, представляет точный квадрат натурального числа.

Пусть данное двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ – цифра десятков, а $b$ – цифра единиц. Поскольку число является двузначным, то $a$ – это натуральное число от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ – это целое неотрицательное число от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь вид $10b + a$.

Найдем сумму $S$ этих двух чисел: $S = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b$

Вынесем общий множитель за скобки: $S = 11(a + b)$

Согласно условию задачи, сумма $S$ должна быть точным квадратом натурального числа. Это означает, что $S = k^2$ для некоторого натурального числа $k$. Следовательно, мы имеем равенство: $11(a + b) = k^2$

Для того чтобы произведение $11(a + b)$ было точным квадратом, необходимо, чтобы в его разложении на простые множители все простые множители были в четной степени. Число 11 является простым, и в данном выражении оно присутствует в первой степени. Чтобы степень множителя 11 стала четной, необходимо, чтобы выражение $(a + b)$ было кратно 11.

Рассмотрим возможные значения суммы цифр $a + b$. Минимальное значение суммы $a + b$ достигается при $a=1$ и $b=0$, и оно равно $1+0=1$. Максимальное значение суммы $a + b$ достигается при $a=9$ и $b=9$, и оно равно $9+9=18$. Таким образом, $1 \le a + b \le 18$.

В найденном диапазоне для суммы $a+b$ есть только одно число, кратное 11, — это само число 11. Значит, единственно возможный вариант — это $a + b = 11$.

Проверим это условие. Если $a + b = 11$, то сумма $S$ равна: $S = 11 \cdot (a + b) = 11 \cdot 11 = 121$ Число 121 является точным квадратом натурального числа 11, так как $121 = 11^2$.

Следовательно, искомое условие состоит в том, что сумма цифр исходного двузначного числа должна быть равна 11.

Ответ: Сумма цифр данного двузначного числа должна быть равна 11.