Номер 843, страница 259 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

843. Сколькими нулями оканчивается произведение натуральных чисел от 1 до 20?

Чтобы определить, сколькими нулями оканчивается произведение натуральных чисел от 1 до 20, необходимо найти, сколько раз число 10 встречается в качестве множителя в этом произведении. Произведение натуральных чисел от 1 до 20 — это факториал числа 20, обозначаемый как $20!$.

$20! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 19 \cdot 20$

Каждый нуль в конце числа образуется произведением множителей 2 и 5, так как $10 = 2 \cdot 5$. Следовательно, количество нулей в конце числа $20!$ равно количеству пар множителей $(2, 5)$, которые можно составить из его простых делителей.

В произведении $20!$ множителей 2 всегда будет больше, чем множителей 5. Поэтому количество нулей определяется именно количеством множителей 5. Посчитаем, сколько раз 5 встречается в качестве множителя в числах от 1 до 20.

Множитель 5 содержат следующие числа в этом диапазоне:

• 5 (дает одну пятерку: $5 = 1 \cdot 5$)
• 10 (дает одну пятерку: $10 = 2 \cdot 5$)
• 15 (дает одну пятерку: $15 = 3 \cdot 5$)
• 20 (дает одну пятерку: $20 = 4 \cdot 5$)

Числа, кратные $25 = 5^2$, которые могли бы дать две пятерки, в этом диапазоне отсутствуют (первое такое число — 25).

Таким образом, общее количество множителей 5 в произведении $20!$ равно $1 + 1 + 1 + 1 = 4$.

Для сравнения, количество множителей 2 значительно больше. Посчитаем его по формуле Лежандра: $\lfloor\frac{20}{2}\rfloor + \lfloor\frac{20}{4}\rfloor + \lfloor\frac{20}{8}\rfloor + \lfloor\frac{20}{16}\rfloor = 10 + 5 + 2 + 1 = 18$.

Поскольку у нас есть 18 множителей 2 и только 4 множителя 5, мы можем образовать всего 4 пары $(2 \cdot 5)$. Это означает, что число $20!$ будет содержать множитель $10^4$, и, следовательно, будет оканчиваться на 4 нуля.

Ответ: Произведение натуральных чисел от 1 до 20 оканчивается четырьмя нулями.