Номер 851, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

851. Найти $x$ и $y$, зная, что $xy = 1$ и что $|x| \leq 1$, $|y| \leq 1$.

Нам даны три условия для переменных $x$ и $y$:
1) $xy = 1$
2) $|x| \le 1$
3) $|y| \le 1$

Из первого условия $xy=1$ следует, что ни $x$, ни $y$ не равны нулю. Также из этого уравнения можно взять модуль от обеих частей:
$|xy| = |1|$
Используя свойство модуля произведения $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$, получаем:
$|x| \cdot |y| = 1$

Теперь рассмотрим два других условия: $|x| \le 1$ и $|y| \le 1$. Поскольку обе части в этих неравенствах неотрицательны, мы можем их перемножить, при этом знак неравенства не изменится:
$|x| \cdot |y| \le 1 \cdot 1$
$|x||y| \le 1$

Мы получили систему из двух утверждений относительно произведения $|x||y|$:
$\begin{cases} |x||y| = 1 \\ |x||y| \le 1 \end{cases}$
Эта система совместна только в том случае, когда выполняется равенство.
Равенство $|x||y| = 1$ при условиях $|x| \le 1$ и $|y| \le 1$ возможно только тогда, когда модули обоих множителей равны 1. Действительно, если бы хотя бы один из модулей был строго меньше 1 (например, $|x| < 1$), то их произведение, учитывая что $|y| \le 1$, было бы строго меньше 1 ($|x||y| < 1 \cdot 1 = 1$), что противоречило бы уравнению $|x||y| = 1$.
Следовательно, мы должны иметь:
$|x| = 1$ и $|y| = 1$.

Из условия $|x| = 1$ следует, что $x=1$ или $x=-1$.
Из условия $|y| = 1$ следует, что $y=1$ или $y=-1$.

Теперь подставим эти возможные значения в исходное уравнение $xy=1$, чтобы найти допустимые пары $(x, y)$.
1. Если $x=1$, то подставляем в уравнение: $1 \cdot y = 1$, откуда $y=1$. Получаем пару решений $(1, 1)$.
2. Если $x=-1$, то подставляем в уравнение: $(-1) \cdot y = 1$, откуда $y=-1$. Получаем пару решений $(-1, -1)$.
Обе найденные пары удовлетворяют всем начальным условиям.

Ответ: $x=1, y=1$ или $x=-1, y=-1$.