Страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

845. Докажите, что сумма двух последовательных чётных чисел не делится на 4.

Чтобы доказать это утверждение, представим два последовательных чётных числа в общем виде.

Любое чётное число можно записать в виде формулы $2n$, где $n$ — некоторое целое число.

Пусть первое чётное число равно $2n$.

Поскольку чётные числа идут через одно (например, 2, 4, 6, ...), следующее за $2n$ чётное число будет на 2 больше, то есть оно будет равно $2n + 2$.

Теперь найдём сумму этих двух последовательных чётных чисел: $S = 2n + (2n + 2)$

Упростим полученное выражение: $S = 4n + 2$

Чтобы проверить, делится ли эта сумма на 4, попробуем разделить выражение $4n + 2$ на 4: $\frac{4n + 2}{4} = \frac{4n}{4} + \frac{2}{4} = n + \frac{1}{2}$

Поскольку $n$ — целое число, то $n + \frac{1}{2}$ не является целым числом. Это означает, что деление на 4 не происходит нацело.

Другой способ это показать — представить сумму в виде $4k$ (признак делимости на 4). Выражение $4n + 2$ нельзя представить в виде $4k$, где $k$ — целое число, так как при делении на 4 это выражение всегда даёт остаток 2. $4n + 2 = 4 \cdot n + 2$

Так как при делении суммы на 4 остаётся остаток 2, то сумма двух последовательных чётных чисел не делится на 4.

Ответ: Сумма двух последовательных чётных чисел имеет вид $4n + 2$, что при делении на 4 даёт остаток 2, следовательно, она не делится на 4 нацело.

846. Докажите, что разность трёхзначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9. Делится ли эта разность на 27?

Докажите, что разность трёхзначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.

Пусть исходное трёхзначное число представлено как $\overline{abc}$, где $a$ — цифра сотен, $b$ — цифра десятков, а $c$ — цифра единиц. В виде суммы разрядных слагаемых это число записывается как $100a + 10b + c$. При этом, поскольку число трёхзначное, $a$ может быть любой цифрой от 1 до 9, а $b$ и $c$ — от 0 до 9.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет $\overline{cba}$. Его значение равно $100c + 10b + a$.

Теперь найдем модуль разности этих двух чисел. Неважно, какое из чисел больше, так как на делимость знак не влияет.

Разность равна: $$ |(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)| $$ Раскроем скобки и упростим выражение: $$ |100a + 10b + c - 100c - 10b - a| = |(100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c)| = |99a - 99c| $$ Вынесем общий множитель 99 за скобки: $$ |99(a - c)| = 99 \cdot |a - c| $$

Полученное выражение $99 \cdot |a - c|$ содержит множитель 99. Так как $99 = 9 \times 11$, то выражение можно записать как $9 \times 11 \times |a - c|$. Поскольку $a$ и $c$ — это целые числа (цифры), их разность $|a-c|$ также является целым числом. Следовательно, вся разность является произведением целых чисел, одним из которых является 9. Это доказывает, что разность трёхзначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, всегда делится на 9.

Ответ: Разность доказанно делится на 9, так как она всегда равна $99 \cdot |a - c|$, где $a$ и $c$ — первая и последняя цифры числа.

Делится ли эта разность на 27?

Мы установили, что разность чисел равна $99(a - c)$. Чтобы проверить, делится ли эта разность на 27, нужно проанализировать выражение $\frac{99(a - c)}{27}$.

Упростим дробь, сократив числитель и знаменатель на 9: $$ \frac{99(a - c)}{27} = \frac{9 \times 11 \times (a - c)}{9 \times 3} = \frac{11(a - c)}{3} $$

Чтобы результат деления был целым числом, необходимо, чтобы числитель $11(a - c)$ делился на 3. Так как 11 — простое число и на 3 не делится, то на 3 должна делиться разность цифр $(a - c)$.

Однако это условие выполняется не для всех трёхзначных чисел. Разность первой и последней цифр $(a - c)$ не всегда кратна 3.

Приведем контрпример. Возьмем число 211. Здесь $a=2, c=1$. Разность $(a - c) = 2 - 1 = 1$, что не делится на 3.

Исходное число: 211.
Число в обратном порядке: 112.
Их разность: $211 - 112 = 99$.

Проверим делимость на 27: $$ \frac{99}{27} = \frac{11}{3} $$ Результат не является целым числом. Следовательно, 99 не делится на 27.

Таким образом, разность не всегда делится на 27. Это происходит только тогда, когда разность между первой и последней цифрами числа кратна 3 (например, для числа 724, где $a=7, c=4$ и $a-c=3$, разность $724-427=297$ делится на 27, так как $297 = 27 \times 11$).

Ответ: Нет, эта разность не всегда делится на 27. Она делится на 27 только в том случае, если разность между первой и последней цифрами исходного числа кратна 3.

847. Докажите, что произведение двух последовательных натуральных чисел не может быть равным $25k+1$ ни при каком натуральном $k$.

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что существуют такие натуральные числа n и k, для которых выполняется равенство:

$n(n+1) = 25k + 1$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно n:

$n^2 + n = 25k + 1$

$n^2 + n - (25k + 1) = 0$

Поскольку по условию n — натуральное число, это квадратное уравнение должно иметь хотя бы один целый положительный корень. Для того чтобы корни квадратного уравнения были рациональными числами, его дискриминант D должен быть полным квадратом.

Найдем дискриминант этого уравнения ($a=1$, $b=1$, $c=-(25k+1)$):

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(25k+1)) = 1 + 4(25k+1) = 1 + 100k + 4 = 100k + 5$

Итак, для существования целочисленного решения n необходимо, чтобы дискриминант $D = 100k + 5$ был полным квадратом некоторого целого числа m.

$m^2 = 100k + 5$

Рассмотрим это равенство. Правая часть $100k + 5$ делится на 5, так как $100k$ делится на 5 и 5 делится на 5. Следовательно, и левая часть $m^2$ должна делиться на 5.

Если квадрат числа ($m^2$) делится на простое число (в нашем случае 5), то и само число (m) должно делиться на это простое число. Таким образом, m кратно 5. Представим m в виде $m = 5j$, где j — некоторое целое число.

Подставим $m = 5j$ в наше уравнение для дискриминанта:

$(5j)^2 = 100k + 5$

$25j^2 = 100k + 5$

Разделим обе части этого равенства на 5:

$5j^2 = 20k + 1$

Теперь проанализируем полученное равенство. Левая часть, $5j^2$, очевидно, делится на 5 нацело для любого целого j.

Правая часть, $20k + 1$, при делении на 5 даёт в остатке 1, так как $20k$ делится на 5 нацело.

Таким образом, мы получили, что число, кратное 5 (левая часть), равно числу, которое не кратно 5 (правая часть). Это является противоречием.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании таких натуральных n и k было неверным. Следовательно, произведение двух последовательных натуральных чисел не может быть равным $25k+1$ ни при каком натуральном k. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

848. Докажите, что если некоторое число при делении на 9 даёт остаток 1 или 8, то квадрат этого числа при делении на 9 даёт остаток 1.

Для доказательства этого утверждения необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от остатка, который даёт исходное число при делении на 9. Пусть $N$ — это некоторое число.

Случай 1: число $N$ при делении на 9 даёт остаток 1.
Согласно определению деления с остатком, такое число $N$ можно представить в виде:
$N = 9k + 1$, где $k$ — некоторое целое число (неполное частное).
Теперь найдём квадрат этого числа:
$N^2 = (9k + 1)^2$
Применяя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, получаем:
$N^2 = (9k)^2 + 2 \cdot (9k) \cdot 1 + 1^2 = 81k^2 + 18k + 1$
Чтобы найти остаток от деления на 9, вынесем общий множитель 9 за скобки:
$N^2 = 9(9k^2 + 2k) + 1$
Пусть $m = 9k^2 + 2k$. Поскольку $k$ — целое число, $m$ также является целым числом. Тогда выражение для $N^2$ можно записать как $N^2 = 9m + 1$. Это означает, что при делении квадрата числа $N$ на 9 в остатке получается 1.

Случай 2: число $N$ при делении на 9 даёт остаток 8.
В этом случае число $N$ можно представить в виде:
$N = 9k + 8$, где $k$ — некоторое целое число.
Найдём квадрат этого числа:
$N^2 = (9k + 8)^2$
Используя ту же формулу квадрата суммы, получаем:
$N^2 = (9k)^2 + 2 \cdot (9k) \cdot 8 + 8^2 = 81k^2 + 144k + 64$
Чтобы найти остаток от деления на 9, проанализируем каждое слагаемое. Слагаемые $81k^2$ и $144k$ делятся на 9 без остатка, так как $81 = 9 \cdot 9$ и $144 = 9 \cdot 16$. Рассмотрим последнее слагаемое, 64. При делении 64 на 9 получаем 7 и остаток 1, то есть $64 = 9 \cdot 7 + 1$.
Теперь подставим это в выражение для $N^2$ и вынесем общий множитель 9 за скобки:
$N^2 = 81k^2 + 144k + (9 \cdot 7 + 1) = 9(9k^2 + 16k + 7) + 1$
Пусть $p = 9k^2 + 16k + 7$. Поскольку $k$ — целое число, $p$ также является целым числом. Тогда выражение для $N^2$ можно записать как $N^2 = 9p + 1$. Это означает, что и в этом случае при делении квадрата числа $N$ на 9 в остатке получается 1.

Таким образом, мы доказали, что если некоторое число при делении на 9 даёт остаток 1 или 8, то его квадрат при делении на 9 всегда даёт остаток 1.

Ответ: Утверждение доказано путём рассмотрения двух возможных случаев. В обоих случаях показано, что квадрат числа можно представить в виде $9m+1$, где $m$ — целое число, что означает, что остаток от деления на 9 равен 1.

849. Представьте $ab$ в виде разности квадратов двух выражений.

Чтобы представить произведение $ab$ в виде разности квадратов двух выражений, нам нужно найти два выражения, скажем $X$ и $Y$, такие что $ab = X^2 - Y^2$.

Мы знаем формулу разности квадратов: $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$.

Следовательно, нам нужно найти такие $X$ и $Y$, что $ab = (X-Y)(X+Y)$.

Давайте попробуем найти $X$ и $Y$ из системы уравнений:

$a = X + Y$

$b = X - Y$

Сложим два уравнения:

$a + b = (X + Y) + (X - Y)$

$a + b = 2X$

$X = \frac{a+b}{2}$

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$a - b = (X + Y) - (X - Y)$

$a - b = X + Y - X + Y$

$a - b = 2Y$

$Y = \frac{a-b}{2}$

Итак, мы нашли два выражения: $X = \frac{a+b}{2}$ и $Y = \frac{a-b}{2}$.

Подставим их в формулу разности квадратов, чтобы проверить, получится ли в итоге $ab$.

$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = \frac{(a+b)^2}{4} - \frac{(a-b)^2}{4}$

Раскроем скобки в числителях, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} - \frac{a^2 - 2ab + b^2}{4} = \frac{(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)}{4}$

Упростим выражение в числителе:

$\frac{a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2}{4} = \frac{4ab}{4} = ab$

Таким образом, мы доказали, что произведение $ab$ можно представить в виде разности квадратов выражений $\frac{a+b}{2}$ и $\frac{a-b}{2}$.

Ответ: $ab = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$

850. Найдите двузначное число, равное удвоенному произведению его цифр.

Пусть искомое двузначное число состоит из цифры десятков $a$ и цифры единиц $b$. Тогда значение этого числа можно записать в виде $10a + b$.

По условию задачи, $a$ - это целое число от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ - целое число от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Произведение цифр этого числа равно $a \cdot b$. Удвоенное произведение цифр равно $2 \cdot a \cdot b$.

Согласно условию, число равно удвоенному произведению его цифр. Можем составить уравнение: $10a + b = 2ab$

Для решения этого уравнения выразим переменную $b$ через $a$: $10a = 2ab - b$ $10a = b(2a - 1)$ $b = \frac{10a}{2a - 1}$

Теперь будем подставлять возможные значения $a$ (от 1 до 9) и проверять, будет ли $b$ целой цифрой (от 0 до 9). Для упрощения перебора можно преобразовать дробь, выделив целую часть: $b = \frac{5(2a)}{2a - 1} = \frac{5(2a - 1 + 1)}{2a - 1} = \frac{5(2a - 1)}{2a - 1} + \frac{5}{2a - 1} = 5 + \frac{5}{2a - 1}$

Чтобы $b$ было целым числом, выражение $\frac{5}{2a - 1}$ должно быть целым. Это означает, что знаменатель $(2a - 1)$ должен быть делителем числа 5. Делителями числа 5 являются $1, -1, 5, -5$.

Рассмотрим эти случаи:
1. Если $2a - 1 = 1$, то $2a = 2$, и $a = 1$. Тогда $b = 5 + \frac{5}{1} = 10$. Это значение не является цифрой.
2. Если $2a - 1 = 5$, то $2a = 6$, и $a = 3$. Тогда $b = 5 + \frac{5}{5} = 5 + 1 = 6$. Эта пара ($a=3, b=6$) является решением.
3. Если $2a - 1 = -1$, то $2a = 0$, и $a = 0$. Это значение не подходит, так как число должно быть двузначным.
4. Если $2a - 1 = -5$, то $2a = -4$, и $a = -2$. Это значение не является цифрой.

Единственная пара, удовлетворяющая всем условиям, это $a = 3$ и $b = 6$. Таким образом, искомое число равно 36.

Проверка:
Число: 36.
Удвоенное произведение его цифр: $2 \cdot (3 \cdot 6) = 2 \cdot 18 = 36$.
$36 = 36$. Верно.

Ответ: 36

851. Найти $x$ и $y$, зная, что $xy = 1$ и что $|x| \leq 1$, $|y| \leq 1$.

Нам даны три условия для переменных $x$ и $y$:
1) $xy = 1$
2) $|x| \le 1$
3) $|y| \le 1$

Из первого условия $xy=1$ следует, что ни $x$, ни $y$ не равны нулю. Также из этого уравнения можно взять модуль от обеих частей:
$|xy| = |1|$
Используя свойство модуля произведения $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$, получаем:
$|x| \cdot |y| = 1$

Теперь рассмотрим два других условия: $|x| \le 1$ и $|y| \le 1$. Поскольку обе части в этих неравенствах неотрицательны, мы можем их перемножить, при этом знак неравенства не изменится:
$|x| \cdot |y| \le 1 \cdot 1$
$|x||y| \le 1$

Мы получили систему из двух утверждений относительно произведения $|x||y|$:
$\begin{cases} |x||y| = 1 \\ |x||y| \le 1 \end{cases}$
Эта система совместна только в том случае, когда выполняется равенство.
Равенство $|x||y| = 1$ при условиях $|x| \le 1$ и $|y| \le 1$ возможно только тогда, когда модули обоих множителей равны 1. Действительно, если бы хотя бы один из модулей был строго меньше 1 (например, $|x| < 1$), то их произведение, учитывая что $|y| \le 1$, было бы строго меньше 1 ($|x||y| < 1 \cdot 1 = 1$), что противоречило бы уравнению $|x||y| = 1$.
Следовательно, мы должны иметь:
$|x| = 1$ и $|y| = 1$.

Из условия $|x| = 1$ следует, что $x=1$ или $x=-1$.
Из условия $|y| = 1$ следует, что $y=1$ или $y=-1$.

Теперь подставим эти возможные значения в исходное уравнение $xy=1$, чтобы найти допустимые пары $(x, y)$.
1. Если $x=1$, то подставляем в уравнение: $1 \cdot y = 1$, откуда $y=1$. Получаем пару решений $(1, 1)$.
2. Если $x=-1$, то подставляем в уравнение: $(-1) \cdot y = 1$, откуда $y=-1$. Получаем пару решений $(-1, -1)$.
Обе найденные пары удовлетворяют всем начальным условиям.

Ответ: $x=1, y=1$ или $x=-1, y=-1$.

852. Найдите цифры $a$ и $b$ пятизначного числа $\overline{42a4b}$, если известно, что это число делится нацело на 72.

Для того чтобы пятизначное число $\overline{42a4b}$ делилось нацело на 72, оно должно одновременно делиться на 8 и на 9, так как $72 = 8 \cdot 9$ и числа 8 и 9 являются взаимно простыми.

1. Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Найдем сумму цифр числа $\overline{42a4b}$: $S = 4 + 2 + a + 4 + b = 10 + a + b$. Эта сумма должна быть кратна 9. Поскольку $a$ и $b$ — это цифры, они могут принимать значения от 0 до 9. Следовательно, $0 \le a+b \le 18$, а значит $10 \le S \le 28$. В этом диапазоне есть два числа, кратных 9: 18 и 27. Рассмотрим два возможных случая:
1) $10 + a + b = 18 \implies a + b = 8$.
2) $10 + a + b = 27 \implies a + b = 17$.

2. Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. В нашем случае это число $\overline{a4b}$. Значение этого числа равно $100a + 40 + b$. Это число должно делиться на 8. Так как слагаемое $40$ делится на 8, то и сумма $100a + b$ должна делиться на 8. Представим $100a$ в виде $96a + 4a$. Так как $96a$ всегда делится на 8 (поскольку $96 = 12 \cdot 8$), то для делимости на 8 всего числа $\overline{a4b}$ необходимо и достаточно, чтобы сумма $4a + b$ делилась на 8.

3. Объединение условий и нахождение цифр
Теперь объединим условия, полученные из обоих признаков делимости, для каждого из двух случаев.

Случай 1: $a + b = 8$
Имеем систему уравнений и условий:
$a + b = 8$
$4a+b$ должно делиться на 8
Из первого уравнения выразим $b$: $b = 8 - a$. Подставим это во второе условие: $4a + (8 - a) = 3a + 8$. Это выражение должно делиться на 8. Так как 8 делится на 8, то и $3a$ должно делиться на 8. Поскольку числа 3 и 8 взаимно просты, $a$ должно быть кратно 8. Так как $a$ — это цифра, то $a$ может быть равно 0 или 8.
- Если $a = 0$, то $b = 8 - 0 = 8$.
- Если $a = 8$, то $b = 8 - 8 = 0$.
Таким образом, в этом случае мы получаем две пары решений: $(a,b) = (0,8)$ и $(a,b) = (8,0)$.

Случай 2: $a + b = 17$
Имеем систему:
$a + b = 17$
$4a+b$ должно делиться на 8
Выразим $b = 17 - a$ и подставим во второе условие: $4a + (17 - a) = 3a + 17$. Это выражение должно делиться на 8. Представим его как $3a + 16 + 1$. Так как 16 делится на 8, то $3a + 1$ должно делиться на 8. Проверим все возможные значения $a$ от 0 до 9. Единственное значение, при котором $3a+1$ делится на 8, это $a=5$ (так как $3 \cdot 5 + 1 = 16$). Но если $a=5$, то из первого уравнения $b = 17 - 5 = 12$. Это значение не является цифрой.
Следовательно, в этом случае решений нет.

Итак, существуют две возможные пары цифр $a$ и $b$.
Ответ: $a = 0, b = 8$ или $a = 8, b = 0$.

853. На какую цифру оканчивается число $7^{100}$?

Чтобы определить, на какую цифру оканчивается число $7^{100}$, нужно найти закономерность в последних цифрах степеней числа 7. Выпишем несколько первых степеней:

$7^1 = 7$
$7^2 = 49$ (последняя цифра 9)
$7^3 = 343$ (последняя цифра 3)
$7^4 = 2401$ (последняя цифра 1)
$7^5 = 16807$ (последняя цифра 7)

Мы видим, что последние цифры степеней числа 7 циклически повторяются. Последовательность последних цифр: 7, 9, 3, 1. Длина этого цикла равна 4.

Чтобы найти последнюю цифру числа $7^{100}$, необходимо определить, какой по счету в этом цикле будет данная степень. Для этого нужно разделить показатель степени 100 на длину цикла 4:

$100 \div 4 = 25$ (остаток 0)

Поскольку остаток от деления равен 0, это означает, что последняя цифра числа $7^{100}$ совпадает с последней цифрой в цикле, то есть с последней цифрой числа $7^4$.

Другой способ рассуждения: можно представить $7^{100}$ как $(7^4)^{25}$. Мы знаем, что число $7^4$ оканчивается на 1. Любая натуральная степень числа, которое оканчивается на 1, также будет оканчиваться на 1. Следовательно, $(7^4)^{25}$ оканчивается на 1.

Ответ: 1

854. Какой цифрой оканчивается сумма $21^4 + 34^4 + 46^4$?

Для того чтобы определить, какой цифрой оканчивается сумма $21^4 + 34^4 + 46^4$, нет необходимости вычислять полные значения слагаемых. Достаточно найти последнюю цифру каждого слагаемого и затем определить последнюю цифру их суммы.

Последняя цифра результата возведения в степень зависит только от последней цифры основания. Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

1. Найдем последнюю цифру числа $21^4$.
Число 21 оканчивается на 1. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также будет оканчиваться на 1. ($...1^n = ...1$).
Следовательно, число $21^4$ оканчивается на цифру 1.

2. Найдем последнюю цифру числа $34^4$.
Число 34 оканчивается на 4. Проследим за последними цифрами степеней числа 4:
$4^1 = 4$
$4^2 = 16$ (оканчивается на 6)
$4^3 = 64$ (оканчивается на 4)
$4^4 = 256$ (оканчивается на 6)
Последние цифры степеней четверки циклически повторяются: 4, 6, 4, 6, ... Для четных показателей степени последняя цифра – 6, для нечетных – 4. Поскольку показатель степени в выражении $34^4$ равен 4 (четное число), число $34^4$ оканчивается на цифру 6.

3. Найдем последнюю цифру числа $46^4$.
Число 46 оканчивается на 6. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также будет оканчиваться на 6. ($...6^n = ...6$).
Следовательно, число $46^4$ оканчивается на цифру 6.

Теперь сложим полученные последние цифры, чтобы найти последнюю цифру искомой суммы:
$1 + 6 + 6 = 13$
Сумма оканчивается на ту же цифру, что и число 13, то есть на 3.

Ответ: 3

855. Доказываем. Докажите, что если $n > 1$ и $n$ — нечётное число, то число вида $n^{12} - n^8 - n^4 + 1$ делится нацело на 128.

Для доказательства того, что число вида $n^{12} - n^8 - n^4 + 1$ делится нацело на 128, если $n > 1$ и $n$ — нечётное число, сначала преобразуем данное выражение, разложив его на множители.

Пусть $A = n^{12} - n^8 - n^4 + 1$. Сгруппируем слагаемые:
$A = (n^{12} - n^8) - (n^4 - 1) = n^8(n^4 - 1) - (n^4 - 1)$
Вынеся общий множитель $(n^4 - 1)$, получим:
$A = (n^8 - 1)(n^4 - 1)$
Применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к первому множителю, имеем $n^8 - 1 = (n^4 - 1)(n^4 + 1)$. Подставим это в выражение для $A$:
$A = (n^4 - 1)(n^4 + 1)(n^4 - 1) = (n^4 - 1)^2 (n^4 + 1)$

Теперь проанализируем делимость полученных множителей на степени числа 2, так как $128 = 2^7$. По условию $n$ — нечётное число. Любое нечётное число $n$ можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — целое число. Так как $n > 1$, то $k \ge 1$.
Рассмотрим квадрат $n$:
$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1$.
Произведение двух последовательных целых чисел $k(k+1)$ всегда является чётным числом. Пусть $k(k+1) = 2m$ для некоторого целого $m$.
Тогда $n^2 = 4(2m) + 1 = 8m + 1$.
Это означает, что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1, что можно записать как $n^2 \equiv 1 \pmod{8}$.

Используя этот результат, проанализируем множители выражения $A$.
Во-первых, рассмотрим множитель $n^4 - 1 = (n^2 - 1)(n^2 + 1)$.
Из $n^2 = 8m + 1$ следует, что $n^2 - 1 = 8m$, то есть $(n^2 - 1)$ делится нацело на 8.
Для второго сомножителя имеем $n^2 + 1 = (8m + 1) + 1 = 8m + 2 = 2(4m + 1)$. Так как $4m+1$ — нечётное число, то $(n^2 + 1)$ делится на 2, но не на 4.
Следовательно, произведение $(n^4 - 1) = (n^2 - 1)(n^2 + 1)$ делится на $8 \times 2 = 16$.

Во-вторых, рассмотрим множитель $n^4 + 1$.
Так как $n^2 = 8m+1$, возведём это в квадрат, чтобы найти $n^4$:
$n^4 = (n^2)^2 = (8m+1)^2 = 64m^2 + 16m + 1 = 16(4m^2+m) + 1$.
Это значит, что $n^4 \equiv 1 \pmod{16}$.
Тогда $n^4 + 1$ при делении на 16 даёт в остатке $1+1=2$. То есть $n^4+1 = 16j+2 = 2(8j+1)$ для некоторого целого $j$. Поскольку $8j+1$ нечётно, множитель $(n^4+1)$ делится на 2, но не на 4.

Наконец, вернёмся к выражению $A = (n^4 - 1)^2 (n^4 + 1)$.
Мы установили, что $(n^4 - 1)$ делится на 16. Значит, $(n^4 - 1)^2$ делится на $16^2 = 256$.
Мы также установили, что $(n^4 + 1)$ делится на 2.
Следовательно, всё выражение $A$ делится на произведение $256 \times 2 = 512$.

Поскольку $512$ делится на $128$ ($512 = 4 \times 128$), то и число $A = n^{12} - n^8 - n^4 + 1$ также делится нацело на 128, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Число $n^{12} - n^8 - n^4 + 1$ при нечётном $n > 1$ всегда делится на 128.

856. Может ли быть целым числом выражение $\frac{a+9}{a+8}$? Если да, то при каком значении $a$ ($a$ – целое число)?

Да, данное выражение может быть целым числом. Чтобы определить, при каких целых значениях $a$ это происходит, необходимо преобразовать выражение.

Выделим целую часть в дроби $ \frac{a+9}{a+8} $. Для этого представим числитель $a+9$ через выражение в знаменателе, то есть $a+8$:

$ a+9 = (a+8) + 1 $

Теперь подставим это разложение обратно в дробь:

$ \frac{a+9}{a+8} = \frac{(a+8)+1}{a+8} $

Разделим эту дробь на два слагаемых:

$ \frac{(a+8)}{a+8} + \frac{1}{a+8} = 1 + \frac{1}{a+8} $

Выражение $ 1 + \frac{1}{a+8} $ будет целым числом, если слагаемое $ \frac{1}{a+8} $ является целым числом, так как 1 — это уже целое число.

Дробь вида $ \frac{1}{k} $ является целым числом только тогда, когда ее знаменатель $k$ является делителем числителя, то есть 1. Целыми делителями числа 1 являются только числа 1 и -1.

Следовательно, выражение $a+8$ должно быть равно 1 или -1. Рассмотрим оба случая:

1) $ a+8 = 1 $
$ a = 1 - 8 $
$ a = -7 $

2) $ a+8 = -1 $
$ a = -1 - 8 $
$ a = -9 $

По условию $a$ — целое число, и найденные значения $-7$ и $-9$ удовлетворяют этому условию.

Проверка:

При $a=-7$: $ \frac{-7+9}{-7+8} = \frac{2}{1} = 2 $ (целое число).

При $a=-9$: $ \frac{-9+9}{-9+8} = \frac{0}{-1} = 0 $ (целое число).

Ответ: да, выражение может быть целым числом при целых значениях $a = -7$ и $a = -9$.

857. Какое число больше:

a) $ \frac{10^{1986} + 1}{10^{1987} + 1} $ или $ \frac{10^{1987} + 1}{10^{1988} + 1} $,

б) $ \frac{a^n + 1}{a^{n+1} + 1} $ или $ \frac{a^{n+1} + 1}{a^{n+2} + 1} $, где a и n — натуральные числа?

a)

Чтобы сравнить дроби $\frac{10^{1986} + 1}{10^{1987} + 1}$ и $\frac{10^{1987} + 1}{10^{1988} + 1}$, мы можем сравнить их произведения «крест-накрест», поскольку знаменатели обеих дробей положительны. Сравним выражения $(10^{1986} + 1)(10^{1988} + 1)$ и $(10^{1987} + 1)^2$.

Раскроем скобки в левой части:
$(10^{1986} + 1)(10^{1988} + 1) = 10^{1986} \cdot 10^{1988} + 10^{1986} + 10^{1988} + 1 = 10^{3974} + 10^{1986} + 10^{1988} + 1$.

Раскроем скобки в правой части:
$(10^{1987} + 1)^2 = (10^{1987})^2 + 2 \cdot 10^{1987} + 1 = 10^{3974} + 2 \cdot 10^{1987} + 1$.

Уберем общие слагаемые $10^{3974}$ и $1$ из обеих частей. Задача сводится к сравнению выражений $10^{1986} + 10^{1988}$ и $2 \cdot 10^{1987}$.

Преобразуем оба выражения, вынеся за скобки общий множитель $10^{1986}$:
$10^{1986} + 10^{1988} = 10^{1986}(1 + 10^2) = 101 \cdot 10^{1986}$.
$2 \cdot 10^{1987} = 10^{1986}(2 \cdot 10) = 20 \cdot 10^{1986}$.

Поскольку $101 > 20$, то $101 \cdot 10^{1986} > 20 \cdot 10^{1986}$. Это означает, что $(10^{1986} + 1)(10^{1988} + 1) > (10^{1987} + 1)^2$, и, следовательно, первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{10^{1986} + 1}{10^{1987} + 1} > \frac{10^{1987} + 1}{10^{1988} + 1}$.

б)

Это задание является обобщением предыдущего. Сравним дроби $\frac{a^n + 1}{a^{n+1} + 1}$ и $\frac{a^{n+1} + 1}{a^{n+2} + 1}$, где $a$ и $n$ — натуральные числа. Как и в пункте а), используем метод перекрестного умножения. Сравним $(a^n + 1)(a^{n+2} + 1)$ и $(a^{n+1} + 1)^2$.

Раскроем скобки:
Левая часть: $(a^n + 1)(a^{n+2} + 1) = a^n \cdot a^{n+2} + a^n + a^{n+2} + 1 = a^{2n+2} + a^n + a^{n+2} + 1$.
Правая часть: $(a^{n+1} + 1)^2 = (a^{n+1})^2 + 2a^{n+1} + 1 = a^{2n+2} + 2a^{n+1} + 1$.

Убрав общие слагаемые $a^{2n+2}$ и $1$, получаем задачу сравнения выражений $a^n + a^{n+2}$ и $2a^{n+1}$.

Вынесем общий множитель $a^n$ в левой части и преобразуем правую:
$a^n + a^{n+2} = a^n(1+a^2)$.
$2a^{n+1} = a^n(2a)$.

Поскольку $a^n > 0$ (так как $a$ и $n$ натуральные), знак неравенства зависит от сравнения $1+a^2$ и $2a$. Рассмотрим их разность:
$(1+a^2) - 2a = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$.

Так как $a$ — натуральное число, то $a \ge 1$. Возможны два случая:
1. Если $a > 1$, то $(a-1)^2 > 0$. Отсюда следует, что $1+a^2 > 2a$, и, соответственно, $a^n(1+a^2) > a^n(2a)$. В этом случае первая дробь больше второй.
2. Если $a = 1$, то $(a-1)^2 = 0$. Отсюда следует, что $1+a^2 = 2a$. В этом случае выражения равны, значит и исходные дроби равны. Действительно, при $a=1$ обе дроби равны $\frac{1+1}{1+1} = 1$.

Ответ: Если $a > 1$, то больше первое число: $\frac{a^n + 1}{a^{n+1} + 1} > \frac{a^{n+1} + 1}{a^{n+2} + 1}$. Если $a = 1$, то числа равны.

858. Задача Архимеда (287–212 гг. до н. э.).

Найдите сумму квадратов первых n натуральных чисел.

Для нахождения суммы квадратов первых n натуральных чисел, обозначим эту сумму как $S_n$:

$S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2$

Рассмотрим известное тождество для куба суммы: $(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1$. Из этого тождества следует равенство: $(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1$.

Запишем это равенство последовательно для всех натуральных чисел $k$ от 1 до $n$:

при $k=1$: $2^3 - 1^3 = 3 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 1$
при $k=2$: $3^3 - 2^3 = 3 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 + 1$
при $k=3$: $4^3 - 3^3 = 3 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 + 1$
...
при $k=n$: $(n+1)^3 - n^3 = 3 \cdot n^2 + 3 \cdot n + 1$

Теперь сложим все $n$ полученных равенств. Сумма выражений в левых частях является телескопической, то есть все промежуточные члены взаимно уничтожаются: $(2^3 - 1^3) + (3^3 - 2^3) + \dots + ((n+1)^3 - n^3) = (n+1)^3 - 1^3$.

Просуммируем правые части. Сгруппируем слагаемые с квадратами, с первыми степенями и единицы: $(3 \cdot 1^2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 3 \cdot n^2) + (3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + \dots + 3 \cdot n) + (1 + 1 + \dots + 1)$ (где 1 повторяется $n$ раз).

Вынесем общие множители за скобки. Первое слагаемое — это утроенная искомая сумма $S_n$. Второе — утроенная сумма первых $n$ натуральных чисел. Третье — просто $n$. $3(1^2 + 2^2 + \dots + n^2) + 3(1 + 2 + \dots + n) + n = 3S_n + 3\sum_{k=1}^{n}k + n$.

Сумма первых $n$ натуральных чисел (сумма арифметической прогрессии) вычисляется по формуле: $\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}$. Подставим это значение в выражение для суммы правых частей: $3S_n + 3\frac{n(n+1)}{2} + n$.

Приравняем сумму левых и правых частей: $(n+1)^3 - 1 = 3S_n + 3\frac{n(n+1)}{2} + n$.

Выразим из этого уравнения $3S_n$: $3S_n = (n+1)^3 - 1 - 3\frac{n(n+1)}{2} - n$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $3S_n = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - 1 - \frac{3n^2 + 3n}{2} - n$
$3S_n = n^3 + 3n^2 + 2n - \frac{3n^2 + 3n}{2}$
$3S_n = \frac{2(n^3 + 3n^2 + 2n) - (3n^2 + 3n)}{2}$
$3S_n = \frac{2n^3 + 6n^2 + 4n - 3n^2 - 3n}{2}$
$3S_n = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{2}$.

Вынесем общий множитель $n$ в числителе: $3S_n = \frac{n(2n^2 + 3n + 1)}{2}$.

Разложим на множители квадратный трехчлен $2n^2 + 3n + 1$. Для этого найдем корни уравнения $2n^2 + 3n + 1 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1$. Корни: $n_1 = \frac{-3 - 1}{4} = -1$ и $n_2 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2}$. Тогда разложение имеет вид: $2n^2 + 3n + 1 = 2(n - (-1))(n - (-1/2)) = 2(n+1)(n+\frac{1}{2}) = (n+1)(2n+1)$.

Подставим полученное разложение обратно в выражение для $3S_n$: $3S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2}$.

Наконец, чтобы найти $S_n$, разделим обе части на 3: $S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Это и есть формула для суммы квадратов первых $n$ натуральных чисел, которую, согласно преданию, вывел Архимед.

Ответ: $S_n = 1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

859. a) Найдите сумму квадратов первых $n$ чётных чисел.

б) Найдите сумму квадратов первых $n$ нечётных чисел.

а) Для нахождения суммы квадратов первых $n$ чётных чисел, мы сначала определяем, что это за числа. Первые $n$ чётных натуральных чисел — это $2, 4, 6, \dots, 2n$. Общий член этой последовательности можно записать как $a_k = 2k$, где $k$ принимает значения от 1 до $n$. Искомая сумма, обозначим её $S_ч$, является суммой квадратов этих чисел:

$S_ч = 2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + (2n)^2 = \sum_{k=1}^{n} (2k)^2$

Каждое слагаемое в сумме можно преобразовать: $(2k)^2 = 4k^2$. Это позволяет вынести общий множитель 4 за знак суммы:

$S_ч = \sum_{k=1}^{n} 4k^2 = 4 \sum_{k=1}^{n} k^2$

Далее мы используем известную формулу суммы квадратов первых $n$ натуральных чисел:

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Подставим эту формулу в наше выражение для $S_ч$:

$S_ч = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Остаётся только упростить полученное выражение, сократив числитель и знаменатель на 2:

$S_ч = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$

Ответ: $\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$

б) Для нахождения суммы квадратов первых $n$ нечётных чисел, мы определяем, что первые $n$ нечётных чисел — это $1, 3, 5, \dots, 2n-1$. Общий член этой последовательности можно записать как $a_k = 2k-1$, где $k$ принимает значения от 1 до $n$. Искомая сумма, обозначим её $S_н$, является суммой квадратов этих чисел:

$S_н = 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2$

Чтобы вычислить эту сумму, сначала раскроем квадрат разности под знаком суммы:

$S_н = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k + 1)$

Используя свойство линейности суммы, мы можем разбить её на три отдельные суммы:

$S_н = \sum_{k=1}^{n} 4k^2 - \sum_{k=1}^{n} 4k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

Теперь подставим известные формулы для сумм степеней натуральных чисел:
Сумма квадратов: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Сумма первых $n$ чисел (арифметическая прогрессия): $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$
Сумма единиц: $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

Подставляем эти формулы в выражение для $S_н$ и начинаем упрощение:

$S_н = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки для дальнейшего упрощения:

$S_н = n \left[ \frac{2(n+1)(2n+1)}{3} - 2(n+1) + 1 \right]$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю 3:

$S_н = n \left[ \frac{2(2n^2+3n+1) - 6(n+1) + 3}{3} \right] = n \left[ \frac{4n^2+6n+2 - 6n-6 + 3}{3} \right]$

После приведения подобных слагаемых в числителе получаем:

$S_н = n \left( \frac{4n^2 - 1}{3} \right)$

Заметим, что выражение $4n^2 - 1$ является разностью квадратов: $(2n)^2 - 1^2 = (2n-1)(2n+1)$. Подставив это разложение, мы получим окончательную формулу:

$S_н = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

Ответ: $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

860. Старинная задача (Индия, IV в.). Найдите сумму кубов первых $n$ натуральных чисел.

Задача состоит в том, чтобы найти формулу для суммы кубов первых $n$ натуральных чисел, то есть для суммы вида $S_n = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3$.

Эта сумма вычисляется по формуле, известной как формула Никомаха:$$ S_n = \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 $$Для доказательства этой формулы воспользуемся методом математической индукции.

База индукции: Проверим справедливость формулы для самого первого натурального числа, $n=1$.
Левая часть равенства: $S_1 = 1^3 = 1$.
Правая часть равенства: $\left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{1 \cdot 2}{2}\right)^2 = 1^2 = 1$.
Поскольку левая и правая части равны ($1=1$), формула верна для $n=1$.

Индукционное предположение: Предположим, что формула верна для некоторого произвольного натурального числа $n=m$, то есть:$$ S_m = 1^3 + 2^3 + \dots + m^3 = \left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^2 $$

Индукционный шаг: Докажем, что если формула верна для $n=m$, то она будет верна и для следующего числа, $n=m+1$. То есть нам нужно доказать, что $S_{m+1} = \left(\frac{(m+1)(m+2)}{2}\right)^2$.
Сумма для $m+1$ членов представляет собой сумму для $m$ членов плюс следующий член $(m+1)^3$:$$ S_{m+1} = S_m + (m+1)^3 $$Используем наше индукционное предположение для $S_m$:$$ S_{m+1} = \left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^2 + (m+1)^3 $$Теперь выполним алгебраические преобразования. Раскроем квадрат и вынесем общий множитель $(m+1)^2$:$$ S_{m+1} = \frac{m^2(m+1)^2}{4} + (m+1)^3 = (m+1)^2 \left( \frac{m^2}{4} + (m+1) \right) $$Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:$$ S_{m+1} = (m+1)^2 \left( \frac{m^2 + 4(m+1)}{4} \right) = (m+1)^2 \left( \frac{m^2 + 4m + 4}{4} \right) $$Заметим, что выражение в числителе $m^2 + 4m + 4$ является полным квадратом двучлена $(m+2)^2$. Подставим его обратно в формулу:$$ S_{m+1} = (m+1)^2 \frac{(m+2)^2}{4} $$Это выражение можно записать в виде квадрата:$$ S_{m+1} = \left(\frac{(m+1)(m+2)}{2}\right)^2 $$Мы получили формулу для $n=m+1$, что и требовалось доказать.

Поскольку все шаги метода математической индукции выполнены (база проверена, индукционный переход доказан), формула верна для любого натурального числа $n$.
Интересный факт: сумма первых $n$ натуральных чисел равна $1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}$. Таким образом, сумма кубов первых $n$ натуральных чисел равна квадрату суммы этих же чисел.

Ответ: Сумма кубов первых $n$ натуральных чисел вычисляется по формуле $S_n = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$.

Доказываем (861–865).

861. а) Докажите, что трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37.

б) Докажите, что четырёхзначное число, записанное четырьмя одинаковыми цифрами, делится на 101.

Пусть у нас есть трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами a, где a — целое число от 1 до 9. Такое число можно записать в виде $\overline{aaa}$.

Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:

$\overline{aaa} = a \cdot 100 + a \cdot 10 + a \cdot 1$

Вынесем общий множитель a за скобки:

$a \cdot (100 + 10 + 1) = a \cdot 111$

Для того чтобы доказать, что число $\overline{aaa}$ делится на 37, нам нужно доказать, что произведение $a \cdot 111$ делится на 37. Согласно свойству делимости, если один из множителей делится на некоторое число, то и всё произведение делится на это число.

Проверим, делится ли число 111 на 37:

$111 \div 37 = 3$

Так как 111 делится на 37 без остатка ($111 = 3 \cdot 37$), то мы можем переписать исходное выражение:

$\overline{aaa} = a \cdot 111 = a \cdot (3 \cdot 37)$

В полученном произведении присутствует множитель 37. Следовательно, любое трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37.

Ответ: Доказано.

Пусть у нас есть четырёхзначное число, записанное четырьмя одинаковыми цифрами b, где b — целое число от 1 до 9. Такое число можно записать в виде $\overline{bbbb}$.

Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:

$\overline{bbbb} = b \cdot 1000 + b \cdot 100 + b \cdot 10 + b \cdot 1$

Вынесем общий множитель b за скобки:

$b \cdot (1000 + 100 + 10 + 1) = b \cdot 1111$

Для того чтобы доказать, что число $\overline{bbbb}$ делится на 101, нам нужно доказать, что произведение $b \cdot 1111$ делится на 101.

Проверим, делится ли число 1111 на 101:

$1111 \div 101 = 11$

Так как 1111 делится на 101 без остатка ($1111 = 11 \cdot 101$), то мы можем переписать исходное выражение:

$\overline{bbbb} = b \cdot 1111 = b \cdot (11 \cdot 101)$

В полученном произведении присутствует множитель 101. Следовательно, любое четырёхзначное число, записанное четырьмя одинаковыми цифрами, делится на 101.

Ответ: Доказано.