Страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

862. Докажите, что при любом целом значении $k$ число $k^3 + 3k^2 + 2k$ делится на 6.

Для того чтобы доказать, что число $k^3 + 3k^2 + 2k$ делится на 6 при любом целом значении $k$, преобразуем данное выражение, разложив его на множители.

1. Вынесем общий множитель $k$ за скобки:
$k^3 + 3k^2 + 2k = k(k^2 + 3k + 2)$

2. Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $k^2 + 3k + 2$. Для этого можно найти его корни. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $2$. Легко подобрать корни: $k_1 = -1$ и $k_2 = -2$.
Следовательно, квадратный трехчлен можно разложить следующим образом:
$k^2 + 3k + 2 = (k - k_1)(k - k_2) = (k - (-1))(k - (-2)) = (k+1)(k+2)$

3. Подставим разложение квадратного трехчлена в исходное выражение:
$k^3 + 3k^2 + 2k = k(k+1)(k+2)$

Полученное выражение $k(k+1)(k+2)$ представляет собой произведение трех последовательных целых чисел.

Чтобы доказать, что это произведение делится на 6, нужно доказать, что оно делится на 2 и на 3 одновременно (поскольку числа 2 и 3 взаимно простые, а их произведение равно 6).

• Делимость на 2: Среди трех последовательных целых чисел ($k$, $k+1$, $k+2$) всегда есть как минимум одно четное число (т.е. число, делящееся на 2). Поэтому их произведение всегда будет делиться на 2.
• Делимость на 3: Среди любых трех последовательных целых чисел всегда есть ровно одно число, которое делится на 3. Поэтому их произведение всегда будет делиться на 3.

Поскольку выражение $k(k+1)(k+2)$ делится и на 2, и на 3, оно гарантированно делится на их произведение, то есть на 6, при любом целом значении $k$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Выражение $k^3 + 3k^2 + 2k$ было преобразовано к виду $k(k+1)(k+2)$, что является произведением трех последовательных целых чисел. Такое произведение всегда делится на 2 (так как содержит хотя бы одно четное число) и на 3 (так как содержит одно число, кратное трем), а следовательно, делится и на 6.

863. Докажите, что если A — любое нечётное число, то число $A^2 - 1$ делится на 8.

Для доказательства утверждения воспользуемся алгебраическими преобразованиями.

Пусть $A$ — любое нечётное число. Выражение, которое нам нужно проанализировать, — это $A^2 - 1$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$A^2 - 1 = (A - 1)(A + 1)$

Поскольку $A$ является нечётным числом, то числа $(A - 1)$ и $(A + 1)$ — это два последовательных чётных числа. Например, если $A=3$, то множители равны 2 и 4. Если $A=7$, то множители равны 6 и 8.

Докажем, что произведение двух последовательных чётных чисел всегда делится на 8.

Любое нечётное число $A$ можно представить в виде $A = 2k + 1$, где $k$ — целое число. Тогда:

• $A - 1 = (2k + 1) - 1 = 2k$
• $A + 1 = (2k + 1) + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1)$

Их произведение равно:

$(A - 1)(A + 1) = 2k \cdot 2(k + 1) = 4k(k + 1)$

Рассмотрим произведение $k(k + 1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел. Одно из этих чисел обязательно является чётным, поэтому их произведение $k(k+1)$ всегда делится на 2.

Таким образом, мы можем записать $k(k+1) = 2m$ для некоторого целого числа $m$.

Подставим это в наше выражение:

$A^2 - 1 = 4 \cdot k(k+1) = 4 \cdot (2m) = 8m$

Поскольку $A^2 - 1$ можно представить как $8m$, где $m$ — целое число, это означает, что $A^2 - 1$ всегда делится на 8. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $A^2 - 1$ можно разложить на множители $(A-1)(A+1)$. Поскольку $A$ — нечётное число, $(A-1)$ и $(A+1)$ являются двумя последовательными чётными числами. В паре последовательных чётных чисел одно всегда делится на 4, а другое — на 2. Следовательно, их произведение делится на $4 \times 2 = 8$.

864. Докажите, что если в трёхзначном числе две последние цифры одинаковы, а сумма его цифр делится на 7, то и само число делится на 7.

Пусть искомое трёхзначное число можно представить в виде $\overline{abc}$, где $a$ - цифра сотен ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), $b$ - цифра десятков, а $c$ - цифра единиц ($b, c \in \{0, 1, ..., 9\}$). Значение этого числа $N$ равно $N = 100a + 10b + c$.

По условию задачи, две последние цифры числа одинаковы, то есть $c = b$. Тогда запись числа $N$ принимает вид:

$N = 100a + 10b + b = 100a + 11b$

Также по условию, сумма цифр этого числа делится на 7. Сумма цифр равна $a + b + c$. Так как $c = b$, сумма цифр равна $a + b + b = a + 2b$.

Делимость суммы цифр на 7 означает, что существует такое целое число $k$, что выполняется равенство:

$a + 2b = 7k$

Из этого равенства выразим цифру $a$ через $b$ и $k$:

$a = 7k - 2b$

Теперь подставим это выражение для $a$ в формулу для числа $N$:

$N = 100(7k - 2b) + 11b$

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

$N = 100 \cdot 7k - 100 \cdot 2b + 11b = 700k - 200b + 11b = 700k - 189b$

Чтобы доказать, что $N$ делится на 7, проанализируем полученное выражение. Оно представляет собой разность двух слагаемых: $700k$ и $189b$.

• Первое слагаемое, $700k$, делится на 7, так как $700 = 7 \cdot 100$.
• Второе слагаемое, $189b$, также делится на 7, так как $189 = 7 \cdot 27$.

Поскольку оба слагаемых в выражении $700k - 189b$ делятся на 7, их разность также делится на 7. Для наглядности вынесем множитель 7 за скобки:

$N = 7 \cdot 100k - 7 \cdot 27b = 7(100k - 27b)$

Так как $k$ и $b$ - целые числа, то выражение в скобках $(100k - 27b)$ также является целым числом. Следовательно, число $N$ представлено как произведение числа 7 на целое число, что по определению означает, что $N$ делится на 7. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если в трёхзначном числе две последние цифры одинаковы, а сумма его цифр делится на 7, то и само число делится на 7.

865. Докажите, что если B — целое число, то число $B^2(B^2 - 1)$ делится на 4.

Для того чтобы доказать, что выражение $B^2(B^2 - 1)$ делится на 4 при любом целом $B$, необходимо рассмотреть два случая: когда $B$ является четным числом и когда $B$ является нечетным числом. Любое целое число является либо четным, либо нечетным.

Случай 1: $B$ — четное число.

Если $B$ — четное, то его можно представить в виде $B = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Возведем $B$ в квадрат:

$B^2 = (2k)^2 = 4k^2$

Полученное выражение $4k^2$ очевидно делится на 4, так как содержит множитель 4. Следовательно, и все произведение $B^2(B^2 - 1)$ будет делиться на 4, поскольку один из его множителей, $B^2$, делится на 4.

Случай 2: $B$ — нечетное число.

Если $B$ — нечетное, то его можно представить в виде $B = 2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число. В этом случае множитель $B^2$ не будет делиться на 4. Рассмотрим второй множитель, $(B^2 - 1)$. Подставим в него выражение для нечетного числа $B$:

$B^2 - 1 = (2k + 1)^2 - 1$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$(4k^2 + 4k + 1) - 1 = 4k^2 + 4k$

Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4(k^2 + k)$

Так как $k$ — целое число, то $k^2 + k$ также является целым числом. Таким образом, выражение $(B^2 - 1)$ для любого нечетного $B$ делится на 4. Следовательно, и все произведение $B^2(B^2 - 1)$ будет делиться на 4, поскольку один из его множителей, $(B^2 - 1)$, делится на 4.

Мы доказали, что утверждение верно для четных и для нечетных чисел $B$. Таким образом, оно верно для любого целого числа $B$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

866. Найдите наименьшее натуральное число, которое при умножении на 2 становится квадратом, а при умножении на 3 – кубом целого числа.

Пусть искомое наименьшее натуральное число равно $N$.

Согласно условию, при умножении $N$ на 2 получается квадрат целого числа. Обозначим это как:

$2N = a^2$, где $a$ — целое число.

Для того чтобы число было полным квадратом, все показатели степеней в его разложении на простые множители должны быть четными. Пусть каноническое разложение числа $N$ на простые множители имеет вид $N = 2^x \cdot 3^y \cdot p_1^{z_1} \cdot p_2^{z_2} \cdot \dots$, где $p_i$ — простые числа, отличные от 2 и 3.

Тогда $2N = 2^{x+1} \cdot 3^y \cdot p_1^{z_1} \cdot p_2^{z_2} \cdot \dots$. Для того чтобы это число было квадратом, необходимо, чтобы все показатели степеней были четными. Это означает, что:

• показатель $x+1$ должен быть четным, следовательно, $x$ должен быть нечетным;
• показатель $y$ должен быть четным;
• все остальные показатели $z_i$ должны быть четными.

Также, по второму условию, при умножении $N$ на 3 получается куб целого числа. Обозначим это как:

$3N = b^3$, где $b$ — целое число.

Для того чтобы число было полным кубом, все показатели степеней в его разложении на простые множители должны быть кратны 3.

$3N = 2^x \cdot 3^{y+1} \cdot p_1^{z_1} \cdot p_2^{z_2} \cdot \dots$. Для того чтобы это число было кубом, необходимо, чтобы все показатели степеней делились на 3. Это означает, что:

• показатель $x$ должен быть кратен 3;
• показатель $y+1$ должен быть кратен 3;
• все остальные показатели $z_i$ должны быть кратны 3.

Теперь найдем наименьшие целые неотрицательные значения для показателей $x$, $y$ и $z_i$, удовлетворяющие всем условиям.

1. Для показателя $x$ (степень двойки): - $x$ должен быть нечетным (1, 3, 5, ...). - $x$ должен быть кратен 3 (3, 6, 9, ...). Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x=3$.

2. Для показателя $y$ (степень тройки): - $y$ должен быть четным (0, 2, 4, ...). - $y+1$ должен быть кратен 3. Это значит, что $y$ при делении на 3 дает остаток 2 (2, 5, 8, ...). Наименьшее неотрицательное целое число, удовлетворяющее обоим условиям, это $y=2$.

3. Для показателей $z_i$ (степени других простых множителей): - $z_i$ должны быть четными. - $z_i$ должны быть кратны 3. Наименьшее неотрицательное целое число, которое является и четным, и кратным 3, это 0. Следовательно, все $z_i = 0$. Это означает, что в разложении числа $N$ нет других простых множителей, кроме 2 и 3.

Собираем число $N$ из найденных наименьших показателей:

$N = 2^x \cdot 3^y = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Проверим найденное число:

• $2 \cdot 72 = 144 = 12^2$. Это квадрат целого числа.
• $3 \cdot 72 = 216 = 6^3$. Это куб целого числа.

Таким образом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условиям задачи, равно 72.

Ответ: 72.

867. Расшифруйте равенство $** + *** = ****$, если каждое из слагаемых и сумма не изменяются при чтении их справа налево.

Данное равенство представляет собой ребус, в котором за звёздочками скрываются цифры. Обозначим его как $** + *** = ****$. Согласно условию, оба слагаемых и сумма являются палиндромами, то есть числами, которые читаются одинаково слева направо и справа налево.

Исходя из этого, представим равенство в виде $AA + BCB = DEED$, где $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ — это цифры. Поскольку $AA$ — двузначное число, $BCB$ — трёхзначное, а $DEED$ — четырёхзначное, цифры $A$, $B$ и $D$ не могут быть равны нулю.

Рассмотрим величину слагаемых. Максимально возможное значение для первого слагаемого — $99$, а для второго — $999$. Их сумма равна $99 + 999 = 1098$. Это означает, что результат сложения (сумма) — это четырёхзначное число, которое не может начинаться с цифры большей, чем $1$. Следовательно, первая цифра суммы $D$ равна $1$. Так как сумма является палиндромом $DEED$, её последняя цифра также равна $1$. Сумма имеет вид $1EE1$.

Теперь проанализируем сложение в столбик, начиная с разряда единиц. Сумма последних цифр слагаемых ($A$ и $B$) должна давать число, оканчивающееся на последнюю цифру результата ($D=1$). Таким образом, $A + B = 1$ или $A + B = 11$. Поскольку $A$ и $B$ — первые цифры своих чисел, они не могут быть нулём ($A \ge 1$, $B \ge 1$), поэтому их сумма не может быть равна $1$. Значит, единственно верный вариант — $A + B = 11$. При этом из разряда единиц в разряд десятков переходит $1$.

Перейдём к разряду сотен. Второе слагаемое имеет цифру $B$ в разряде сотен. К ней прибавляется возможный перенос из разряда десятков (обозначим его $c_{10}$, он может быть $0$ или $1$). Результатом сложения в разряде сотен является цифра $E$ и перенос $1$ в разряд тысяч (поскольку $D=1$). Это можно записать в виде уравнения: $B + c_{10} = E + 10$. Левая часть этого уравнения ($B + c_{10}$) может быть максимальна, когда $B=9$ и $c_{10}=1$, что даёт $10$. Правая часть ($E+10$) минимальна, когда $E=0$, что также даёт $10$. Единственное возможное решение этого уравнения достигается, когда обе части равны $10$. Отсюда следует, что $E=0$, а $B+c_{10}=10$. Так как $B$ — это цифра (не более $9$), то перенос $c_{10}$ должен быть равен $1$, и тогда $B=9$.

Теперь, зная значения некоторых цифр, мы можем найти оставшиеся. Из уравнения $A+B=11$ и зная, что $B=9$, находим $A = 11 - 9 = 2$. Осталось найти цифру $C$. Рассмотрим разряд десятков. Сумма цифр $A$ и $C$ плюс перенос $1$ из разряда единиц даёт в результате цифру $E$ и перенос $c_{10}=1$ в разряд сотен. Запишем это в виде уравнения: $A + C + 1 = E + 10 \cdot c_{10}$. Подставим известные нам значения $A=2$, $E=0$ и $c_{10}=1$: $2 + C + 1 = 0 + 10 \cdot 1$ $3 + C = 10$ $C = 7$

Таким образом, мы расшифровали все цифры: $A=2$, $B=9$, $C=7$, $D=1$, $E=0$. Восстановим исходное равенство: Первое слагаемое-палиндром $AA$ — это $22$. Второе слагаемое-палиндром $BCB$ — это $979$. Сумма-палиндром $DEED$ — это $1001$. Проверим вычисление: $22 + 979 = 1001$. Равенство выполняется.

Ответ: $22 + 979 = 1001$.

868. Трёхзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру перенести на первое место (на место сотен), то полученное число будет на 1 больше утроенного первоначального числа. Найдите это число.

Пусть искомое трёхзначное число можно представить в виде $100a + 10b + 3$, где $a$ – цифра сотен ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ – цифра десятков ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Для удобства решения можно представить это число иначе. Пусть $x$ — это двузначное число, образованное первыми двумя цифрами искомого числа (сотни и десятки). Тогда искомое число можно записать как $10x + 3$.

Согласно условию, если цифру 3 перенести на первое место (на место сотен), то получится новое число. Первые две цифры ($x$) сместятся вправо, занимая места десятков и единиц. Таким образом, новое число будет равно $300 + x$.

В задаче сказано, что полученное число будет на 1 больше утроенного первоначального числа. Составим уравнение, исходя из этого условия:
$300 + x = 3 \cdot (10x + 3) + 1$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:
$300 + x = 30x + 9 + 1$
$300 + x = 30x + 10$
Сгруппируем переменные на одной стороне, а константы на другой:
$300 - 10 = 30x - x$
$290 = 29x$
$x = \frac{290}{29}$
$x = 10$

Итак, мы нашли, что двузначное число, образованное первыми двумя цифрами, равно 10. Поскольку искомое число оканчивается на 3, то оно равно 103.

Проверим результат:
Первоначальное число — 103.
Утроенное первоначальное число: $3 \cdot 103 = 309$.
Число на 1 больше утроенного: $309 + 1 = 310$.
Новое число, полученное переносом цифры 3 на первое место: 310.
$310 = 310$. Условие выполняется.

Ответ: 103.

869. Какое наибольшее число одинаковых букетов можно составить из 264 белых и 192 красных тюльпанов?

Решение:
Чтобы найти наибольшее возможное число одинаковых букетов, нужно, чтобы и общее количество белых тюльпанов, и общее количество красных тюльпанов делилось нацело на это число букетов. Таким образом, искомое число является общим делителем для чисел 264 (количество белых тюльпанов) и 192 (количество красных тюльпанов).
Поскольку в задаче требуется найти наибольшее число букетов, нам необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) этих двух чисел.
Найдем НОД(264, 192) методом разложения на простые множители.
Сначала разложим число 264:
$264 = 2 \cdot 132 = 2 \cdot 2 \cdot 66 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 33 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = 2^3 \cdot 3 \cdot 11$.
Теперь разложим число 192:
$192 = 2 \cdot 96 = 2 \cdot 2 \cdot 48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 24 = 2^4 \cdot 12 = 2^5 \cdot 6 = 2^6 \cdot 3$.
Для нахождения НОД нужно взять общие простые множители в наименьшей степени, в которой они входят в оба разложения, и перемножить их.
Общие множители для чисел 264 и 192 — это 2 и 3.
Наименьшая степень для множителя 2 — это 3 (из разложения $264 = 2^3 \cdot 3 \cdot 11$).
Наименьшая степень для множителя 3 — это 1 (входит в оба разложения в первой степени).
Таким образом, НОД(264, 192) = $2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$.
Это означает, что наибольшее число одинаковых букетов, которое можно составить, равно 24. При этом в каждом букете будет $264 / 24 = 11$ белых тюльпанов и $192 / 24 = 8$ красных тюльпанов.
Ответ: 24.

870. Сумма двух натуральных чисел больше $360$, но меньше $400$. Наибольший общий делитель этих чисел — $32$. Найдите эти числа, если ни одно из них не является делителем другого.

Пусть искомые натуральные числа — это $a$ и $b$.

1. Выразим числа через их наибольший общий делитель (НОД).
По условию, $\text{НОД}(a, b) = 32$. Это значит, что $a$ и $b$ можно представить в виде:
$a = 32 \cdot m$ и $b = 32 \cdot n$,
где $m$ и $n$ — натуральные и взаимно простые числа, то есть $\text{НОД}(m, n) = 1$.

2. Используем условие о сумме чисел.
Известно, что сумма чисел находится в пределах от 360 до 400:
$360 < a + b < 400$.
Подставим выражения для $a$ и $b$:
$360 < 32m + 32n < 400$.
Вынесем общий множитель 32 за скобки:
$360 < 32(m + n) < 400$.
Разделим все части неравенства на 32:
$\frac{360}{32} < m + n < \frac{400}{32}$,
$11.25 < m + n < 12.5$.

3. Определим сумму $m + n$.
Так как $m$ и $n$ — натуральные числа, их сумма $m + n$ — целое число. Единственное целое число в интервале $(11.25, 12.5)$ — это 12.
Следовательно, $m + n = 12$.

4. Найдем подходящие пары $m$ и $n$.
Нам нужны пары взаимно простых натуральных чисел, сумма которых равна 12. Будем считать $m < n$ для избежания повторов.
Пары $(m,n)$ с суммой 12: $(1, 11), (2, 10), (3, 9), (4, 8), (5, 7)$.
Проверим их на взаимную простоту:
- $\text{НОД}(1, 11) = 1$ — подходит.
- $\text{НОД}(2, 10) = 2$ — не подходит.
- $\text{НОД}(3, 9) = 3$ — не подходит.
- $\text{НОД}(4, 8) = 4$ — не подходит.
- $\text{НОД}(5, 7) = 1$ — подходит.
Остаются две возможные пары: $(1, 11)$ и $(5, 7)$.

5. Проверим условие делимости.
По условию, ни одно из искомых чисел не является делителем другого. Это значит, что $m$ не должно делить $n$, и $n$ не должно делить $m$.
- Для пары $(1, 11)$: $m=1, n=11$. Здесь $m$ делит $n$ (1 делит 11). Соответствующие числа $a=32 \cdot 1=32$ и $b=32 \cdot 11=352$. Так как 32 является делителем 352, эта пара не удовлетворяет условию.
- Для пары $(5, 7)$: $m=5, n=7$. Здесь 5 не делит 7, и 7 не делит 5. Эта пара подходит.

6. Вычислим искомые числа.
Единственная подходящая пара $(m, n)$ — это $(5, 7)$. Найдем $a$ и $b$:
$a = 32 \cdot 5 = 160$
$b = 32 \cdot 7 = 224$
Проверим полученные числа: $160+224 = 384$, что находится в интервале $(360, 400)$. $\text{НОД}(160, 224)=32$. 160 не является делителем 224. Все условия соблюдены.

Ответ: 160 и 224.

871. Найдите два целых числа, зная, что их сумма 168, а наибольший общий делитель 24.

Пусть искомые целые числа — это $a$ и $b$. Согласно условию задачи, мы имеем два положения:

1. Сумма чисел равна 168: $a + b = 168$.

2. Наибольший общий делитель (НОД) этих чисел равен 24: НОД$(a, b) = 24$.

Из второго условия следует, что оба числа, $a$ и $b$, делятся на 24 без остатка. Это значит, что их можно представить в виде произведений:

$a = 24 \cdot x$

$b = 24 \cdot y$

где $x$ и $y$ — это целые числа. Для того чтобы НОД чисел $a$ и $b$ был равен именно 24, необходимо, чтобы множители $x$ и $y$ были взаимно простыми, то есть НОД$(x, y) = 1$. В противном случае, если бы НОД$(x, y) = d > 1$, то НОД$(a, b)$ был бы равен $24 \cdot d$, что противоречило бы условию.

Теперь подставим выражения для $a$ и $b$ в первое уравнение (уравнение суммы):

$24x + 24y = 168$

Вынесем общий множитель 24 за скобки:

$24(x + y) = 168$

Разделим обе части уравнения на 24, чтобы найти сумму $x$ и $y$:

$x + y = \frac{168}{24} = 7$

Теперь задача сводится к поиску пар взаимно простых положительных целых чисел ($x$ и $y$), сумма которых равна 7. (Мы ищем положительные числа, так как их сумма положительна, что является стандартным подходом в таких задачах).

Рассмотрим все возможные пары натуральных чисел $x$ и $y$ (предполагая $x < y$, чтобы избежать дублирования пар):

1. Если $x = 1$, то $y = 7 - 1 = 6$. Проверяем взаимную простоту: НОД$(1, 6) = 1$. Эта пара нам подходит.

2. Если $x = 2$, то $y = 7 - 2 = 5$. Проверяем взаимную простоту: НОД$(2, 5) = 1$. Эта пара также подходит.

3. Если $x = 3$, то $y = 7 - 3 = 4$. Проверяем взаимную простоту: НОД$(3, 4) = 1$. И эта пара подходит.

Мы нашли три возможные пары для $(x, y)$. Теперь для каждой из этих пар вычислим искомые числа $a$ и $b$:

Для пары $(x, y) = (1, 6)$:$a = 24 \cdot 1 = 24$$b = 24 \cdot 6 = 144$Получаем числа 24 и 144.

Для пары $(x, y) = (2, 5)$:$a = 24 \cdot 2 = 48$$b = 24 \cdot 5 = 120$Получаем числа 48 и 120.

Для пары $(x, y) = (3, 4)$:$a = 24 \cdot 3 = 72$$b = 24 \cdot 4 = 96$Получаем числа 72 и 96.

Таким образом, существует три пары чисел, удовлетворяющих заданным условиям.

Ответ: 24 и 144; или 48 и 120; или 72 и 96.

Доказываем (872—874).

872. Докажите, что если $A + B + C = 0$, то $A^3 + B^3 + C^3 = 3ABC$.

Для доказательства данного утверждения, что если $A + B + C = 0$, то $A^3 + B^3 + C^3 = 3ABC$, можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Прямое алгебраическое преобразование

Начнем с данного нам условия: $A + B + C = 0$.

Из этого равенства выразим одну из переменных, например, переменную $C$:

$C = -(A + B)$

Теперь подставим это выражение в левую часть доказываемого тождества $A^3 + B^3 + C^3$:

$A^3 + B^3 + C^3 = A^3 + B^3 + (-(A + B))^3$

Используя свойство степени $(-x)^3 = -x^3$, получаем:

$A^3 + B^3 - (A + B)^3$

Раскроем скобки, применив формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$:

$A^3 + B^3 - (A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3)$

Упростим полученное выражение, приведя подобные слагаемые:

$A^3 + B^3 - A^3 - 3A^2B - 3AB^2 - B^3 = -3A^2B - 3AB^2$

Вынесем за скобки общий множитель $-3AB$:

$-3AB(A + B)$

Из исходного условия $A + B + C = 0$ следует, что $A + B = -C$. Сделаем замену в последнем выражении:

$-3AB(-C) = 3ABC$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства в правую, что и требовалось доказать.

Способ 2: Использование тождества суммы трех кубов

Этот способ основан на известном алгебраическом тождестве, связывающем сумму кубов трех чисел с их произведением:

$A^3 + B^3 + C^3 - 3ABC = (A + B + C)(A^2 + B^2 + C^2 - AB - BC - CA)$

По условию задачи нам дано, что $A + B + C = 0$. Подставим это значение в правую часть тождества:

$A^3 + B^3 + C^3 - 3ABC = (0) \cdot (A^2 + B^2 + C^2 - AB - BC - CA)$

Поскольку произведение любого выражения на ноль равно нулю, правая часть уравнения обращается в ноль:

$A^3 + B^3 + C^3 - 3ABC = 0$

Перенесем член $-3ABC$ в правую часть уравнения, изменив его знак:

$A^3 + B^3 + C^3 = 3ABC$

Это полностью доказывает исходное утверждение.

Ответ: Утверждение доказано. Из условия $A + B + C = 0$ действительно следует, что $A^3 + B^3 + C^3 = 3ABC$.

873. Докажите, что если число при делении на 9 даёт остаток 3 или 6, то куб этого числа делится на 9. Делится ли куб этого числа на 27?

Докажите, что если число при делении на 9 даёт остаток 3 или 6, то куб этого числа делится на 9.

Пусть заданное число — это $n$. По условию, при делении $n$ на 9 остаток равен 3 или 6. Рассмотрим оба этих случая.

Случай 1: Остаток равен 3.

В этом случае число $n$ можно представить в виде $n = 9k + 3$, где $k$ — некоторое целое число. Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$n = 3(3k + 1)$

Теперь возведем это выражение в куб, чтобы найти $n^3$:

$n^3 = (3(3k + 1))^3 = 3^3 \cdot (3k + 1)^3 = 27(3k + 1)^3$

Мы знаем, что 27 делится на 9 ($27 = 9 \cdot 3$). Следовательно, выражение $27(3k + 1)^3$ также делится на 9. Мы можем записать его как $9 \cdot [3(3k + 1)^3]$. Так как $k$ — целое число, то выражение в квадратных скобках также является целым числом. Значит, $n^3$ делится на 9.

Случай 2: Остаток равен 6.

В этом случае число $n$ можно представить в виде $n = 9k + 6$, где $k$ — некоторое целое число. Снова вынесем общий множитель 3 за скобки:

$n = 3(3k + 2)$

Возведем это выражение в куб:

$n^3 = (3(3k + 2))^3 = 3^3 \cdot (3k + 2)^3 = 27(3k + 2)^3$

Аналогично первому случаю, поскольку 27 делится на 9, выражение $27(3k + 2)^3$ также делится на 9.

Мы доказали, что в обоих возможных случаях куб числа делится на 9.
Ответ: утверждение доказано.

Делится ли куб этого числа на 27?

Да, делится. Обратимся к выражениям для $n^3$, которые мы получили при решении первой части задачи.

В первом случае (когда остаток от деления на 9 равен 3), мы получили: $n^3 = 27(3k + 1)^3$.
Это выражение является произведением числа 27 и целого числа $(3k + 1)^3$, следовательно, оно делится на 27 без остатка.

Во втором случае (когда остаток от деления на 9 равен 6), мы получили: $n^3 = 27(3k + 2)^3$.
Это выражение также является произведением числа 27 и целого числа $(3k + 2)^3$, а значит, оно тоже делится на 27 без остатка.

Таким образом, в обоих случаях куб этого числа делится на 27.
Ответ: да, делится.

874. a) Докажите, что если k — натуральное число, большее 4, то число $k^4 - 4k^3 - 4k^2 + 16k$ делится на 384.

б) Докажите, что если k — натуральное число, большее 2, то число $k^5 - 5k^3 + 4k$ делится на 120.

а)

Рассмотрим выражение $P(k) = k^4 - 4k^3 - 4k^2 + 16k$. Для начала разложим его на множители: $P(k) = k(k^3 - 4k^2 - 4k + 16) = k(k^2(k - 4) - 4(k - 4)) = k(k^2 - 4)(k - 4) = k(k - 2)(k + 2)(k - 4)$. Переставив множители для удобства, получим: $P(k) = (k - 4)(k - 2)k(k + 2)$.

Требуется доказать, что $P(k)$ делится на $384$ для любого натурального числа $k > 4$. Разложим делитель на простые множители: $384 = 128 \times 3 = 2^7 \times 3$.

Проверим утверждение для нескольких значений $k > 4$. Пусть $k = 5$ (нечетное число). $P(5) = (5 - 4)(5 - 2) \cdot 5 \cdot (5 + 2) = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$. Число $105$ не делится на $384$.

Пусть $k = 7$ (нечетное число). $P(7) = (7 - 4)(7 - 2) \cdot 7 \cdot (7 + 2) = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 = 945$. Число $945$ не делится на $384$.

Из этих примеров видно, что исходное утверждение неверно для всех натуральных $k > 4$. Если $k$ — нечетное число, то все множители $(k-4)$, $(k-2)$, $k$, $(k+2)$ также являются нечетными. Произведение нечетных чисел является нечетным числом и не может делиться на четное число $384$.

Вероятно, в условии задачи есть опечатка, и имелось в виду, что $k$ — четное натуральное число, большее 4. Докажем утверждение для этого случая.

Пусть $k$ — четное натуральное число и $k > 4$. Нам нужно доказать, что $P(k) = (k - 4)(k - 2)k(k + 2)$ делится на $384 = 128 \times 3$. Докажем делимость на 3 и на 128 по отдельности.

Делимость на 3. Рассмотрим три последовательных целых числа: $k-2, k-1, k$. Одно из них обязательно делится на 3. Если $k$ или $k-2$ делится на 3, то и все произведение $P(k)$ делится на 3. Если $k-1$ делится на 3, то и множитель $k-4 = (k-1) - 3$ также делится на 3, а значит и $P(k)$ делится на 3. Таким образом, $P(k)$ всегда делится на 3.

Делимость на 128 ($2^7$). Так как $k$ — четное число, большее 4, мы можем представить его в виде $k = 2m$, где $m$ — натуральное число и $2m > 4$, то есть $m > 2$. Подставим $k = 2m$ в выражение для $P(k)$: $P(2m) = (2m - 4)(2m - 2)(2m)(2m + 2) = 2(m - 2) \cdot 2(m - 1) \cdot 2m \cdot 2(m + 1) = 16 \cdot (m - 2)(m - 1)m(m + 1)$. Выражение $(m - 2)(m - 1)m(m + 1)$ является произведением четырех последовательных натуральных чисел (поскольку $m > 2$). В произведении четырех последовательных целых чисел всегда есть два четных числа. Одно из этих четных чисел обязательно является кратным 4. Следовательно, их произведение делится на $2 \times 4 = 8$. Таким образом, произведение $(m - 2)(m - 1)m(m + 1)$ делится на 8. Тогда $P(2m) = 16 \cdot (m - 2)(m - 1)m(m + 1)$ делится на $16 \times 8 = 128$.

Поскольку $P(k)$ делится и на 3, и на 128, а числа 3 и 128 взаимно простые, то $P(k)$ делится на их произведение $3 \times 128 = 384$. Утверждение доказано для случая, когда $k$ — четное натуральное число, большее 4.

Ответ: Утверждение в задаче верно только для четных натуральных чисел $k > 4$. Для нечетных $k$ оно не выполняется, так как выражение принимает нечетные значения, которые не могут делиться на 384.

б)

Рассмотрим выражение $Q(k) = k^5 - 5k^3 + 4k$. Требуется доказать, что если $k$ — натуральное число, большее 2, то $Q(k)$ делится на 120.

Сначала разложим выражение $Q(k)$ на множители: $Q(k) = k(k^4 - 5k^2 + 4)$. Выражение в скобках является биквадратным уравнением относительно $k$. Сделаем замену $x = k^2$: $x^2 - 5x + 4$. Корни этого квадратного трехчлена: $x_1 = 1, x_2 = 4$. Тогда $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$. Возвращаясь к замене, получаем: $k^4 - 5k^2 + 4 = (k^2 - 1)(k^2 - 4) = (k - 1)(k + 1)(k - 2)(k + 2)$. Таким образом, исходное выражение равно: $Q(k) = k(k - 1)(k + 1)(k - 2)(k + 2)$. Переставив множители в порядке возрастания, получаем: $Q(k) = (k - 2)(k - 1)k(k + 1)(k + 2)$. Это произведение пяти последовательных целых чисел.

Теперь разложим на простые множители число 120: $120 = 12 \times 10 = (3 \times 4) \times (2 \times 5) = 3 \times 2^2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5$. Чтобы доказать, что $Q(k)$ делится на 120, нам нужно показать, что оно делится на 3, на 5 и на 8.

Рассмотрим произведение пяти последовательных целых чисел $Q(k)$. Условие $k > 2$ гарантирует, что все множители — натуральные числа.

Делимость на 5: Среди любых пяти последовательных целых чисел ровно одно делится на 5. Следовательно, их произведение $Q(k)$ делится на 5.

Делимость на 3: Среди любых трех последовательных целых чисел (а значит и пяти) есть хотя бы одно, которое делится на 3. Следовательно, произведение $Q(k)$ делится на 3.

Делимость на 8: Среди пяти последовательных целых чисел есть как минимум два четных числа. Если их три (например, $k-2, k, k+2$ при четном $k$), то одно из них кратно 4, и произведение будет делиться как минимум на $2 \cdot 4 \cdot 2 = 16$, что кратно 8. Если четных чисел два (например, $k-1, k+1$ при нечетном $k$), то они имеют вид $2m$ и $2m+2=2(m+1)$. Их произведение равно $4m(m+1)$. Так как $m$ и $m+1$ — последовательные числа, одно из них четное, поэтому $m(m+1)$ делится на 2. Следовательно, произведение $4m(m+1)$ делится на $4 \times 2 = 8$. В любом случае, произведение $Q(k)$ делится на 8.

Поскольку $Q(k)$ делится на 3, 5 и 8, а эти числа являются взаимно простыми, то $Q(k)$ делится на их произведение $3 \times 5 \times 8 = 120$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

Вычислите (875–876):

875.

a) $ (2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} + \sqrt{6})(\sqrt{6} - \sqrt{2} - 2\sqrt{3}) + 8\sqrt{3} - 4\sqrt{6}; $

б) $ (\sqrt{8} - 3\sqrt{2} + \sqrt{10})(\sqrt{2} + \sqrt{5}) - 2\sqrt{5} + \sqrt{10} - 5\sqrt{2}. $

Рассмотрим выражение: $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} + \sqrt{6})(\sqrt{6} - \sqrt{2} - 2\sqrt{3}) + 8\sqrt{3} - 4\sqrt{6}$.

Сначала вычислим произведение в скобках. Для этого умножим каждый член первой скобки на каждый член второй скобки.

$2\sqrt{3} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2} - 2\sqrt{3}) = 2\sqrt{18} - 2\sqrt{6} - 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 2 \cdot 3\sqrt{2} - 2\sqrt{6} - 4 \cdot 3 = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{6} - 12$.

$-3\sqrt{2} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2} - 2\sqrt{3}) = -3\sqrt{12} + 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 6\sqrt{6} = -3 \cdot 2\sqrt{3} + 3 \cdot 2 + 6\sqrt{6} = -6\sqrt{3} + 6 + 6\sqrt{6}$.

$\sqrt{6} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2} - 2\sqrt{3}) = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} - \sqrt{12} - 2\sqrt{18} = 6 - 2\sqrt{3} - 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6 - 2\sqrt{3} - 6\sqrt{2}$.

Теперь сложим полученные результаты:

$(6\sqrt{2} - 2\sqrt{6} - 12) + (-6\sqrt{3} + 6 + 6\sqrt{6}) + (6 - 2\sqrt{3} - 6\sqrt{2})$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(6\sqrt{2} - 6\sqrt{2}) + (-2\sqrt{6} + 6\sqrt{6}) + (-6\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) + (-12 + 6 + 6) = 0 + 4\sqrt{6} - 8\sqrt{3} + 0 = 4\sqrt{6} - 8\sqrt{3}$.

Подставим результат в исходное выражение:

$(4\sqrt{6} - 8\sqrt{3}) + 8\sqrt{3} - 4\sqrt{6} = (4\sqrt{6} - 4\sqrt{6}) + (-8\sqrt{3} + 8\sqrt{3}) = 0$.

Ответ: 0.

Рассмотрим выражение: $(\sqrt{8} - 3\sqrt{2} + \sqrt{10})(\sqrt{2} + \sqrt{5}) - 2\sqrt{5} + \sqrt{10} - 5\sqrt{2}$.

Сначала упростим выражение в первой скобке. Заметим, что $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Тогда первая скобка равна: $2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + \sqrt{10} = -\sqrt{2} + \sqrt{10}$.

Выражение принимает вид:

$(-\sqrt{2} + \sqrt{10})(\sqrt{2} + \sqrt{5}) - 2\sqrt{5} + \sqrt{10} - 5\sqrt{2}$.

Теперь раскроем скобки, перемножив двучлены:

$(-\sqrt{2} + \sqrt{10})(\sqrt{2} + \sqrt{5}) = -\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{10} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} = -2 - \sqrt{10} + \sqrt{20} + \sqrt{50}$.

Упростим полученные корни: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ и $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

Таким образом, произведение равно: $-2 - \sqrt{10} + 2\sqrt{5} + 5\sqrt{2}$.

Подставим результат обратно в полное выражение:

$(-2 - \sqrt{10} + 2\sqrt{5} + 5\sqrt{2}) - 2\sqrt{5} + \sqrt{10} - 5\sqrt{2}$.

Приведем подобные слагаемые:

$-2 + (-\sqrt{10} + \sqrt{10}) + (2\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) + (5\sqrt{2} - 5\sqrt{2}) = -2 + 0 + 0 + 0 = -2$.

Ответ: -2.

876. а) $ (2\sqrt{38} - \sqrt{57}) \cdot \frac{2}{19}\sqrt{19} + \sqrt{12}; $

б) $ (\sqrt{14} - 2\sqrt{35}) \cdot \frac{1}{7}\sqrt{7} + \sqrt{20}; $

в) $ \sqrt{200} - \frac{1}{2}\sqrt{32} + 2\sqrt{72}; $

г) $ \frac{1}{5}\sqrt{300} - \frac{2}{3}\sqrt{27} + \sqrt{75}. $

а) Для решения выражения $(2\sqrt{38} - \sqrt{57}) \cdot \frac{2}{19}\sqrt{19} + \sqrt{12}$ сначала упростим каждый член. Разложим подкоренные выражения на множители: $\sqrt{38} = \sqrt{2 \cdot 19}$, $\sqrt{57} = \sqrt{3 \cdot 19}$ и $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. Подставим это в исходное выражение: $(2\sqrt{2 \cdot 19} - \sqrt{3 \cdot 19}) \cdot \frac{2}{19}\sqrt{19} + 2\sqrt{3}$. Вынесем общий множитель $\sqrt{19}$ в скобках: $(\sqrt{19}(2\sqrt{2} - \sqrt{3})) \cdot \frac{2}{19}\sqrt{19} + 2\sqrt{3}$. Перемножим $\sqrt{19}$ и $\sqrt{19}$, что равно 19: $19(2\sqrt{2} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{19} + 2\sqrt{3}$. Сократим 19: $(2\sqrt{2} - \sqrt{3}) \cdot 2 + 2\sqrt{3}$. Раскроем скобки: $4\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$. Взаимно уничтожим $-2\sqrt{3}$ и $2\sqrt{3}$, что дает $4\sqrt{2}$.
Ответ: $4\sqrt{2}$

б) Рассмотрим выражение $(\sqrt{14} - 2\sqrt{35}) \cdot \frac{1}{7}\sqrt{7} + \sqrt{20}$. Упростим корни, разложив подкоренные выражения на множители: $\sqrt{14} = \sqrt{2 \cdot 7}$, $\sqrt{35} = \sqrt{5 \cdot 7}$ и $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$. Выражение примет вид: $(\sqrt{2 \cdot 7} - 2\sqrt{5 \cdot 7}) \cdot \frac{1}{7}\sqrt{7} + 2\sqrt{5}$. Вынесем $\sqrt{7}$ за скобки: $(\sqrt{7}(\sqrt{2} - 2\sqrt{5})) \cdot \frac{1}{7}\sqrt{7} + 2\sqrt{5}$. Произведение $\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 7$, поэтому получаем: $7(\sqrt{2} - 2\sqrt{5}) \cdot \frac{1}{7} + 2\sqrt{5}$. Сокращаем 7: $\sqrt{2} - 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5}$. Взаимно уничтожаются $-2\sqrt{5}$ и $2\sqrt{5}$, остается $\sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$

в) Упростим выражение $\sqrt{200} - \frac{1}{2}\sqrt{32} + 2\sqrt{72}$. Для этого вынесем множители из-под знака корня в каждом слагаемом. $\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$. $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$. $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$. Подставим упрощенные значения в исходное выражение: $10\sqrt{2} - \frac{1}{2}(4\sqrt{2}) + 2(6\sqrt{2})$. Выполним умножение: $10\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 12\sqrt{2}$. Теперь сложим и вычтем коэффициенты при общем множителе $\sqrt{2}$: $(10 - 2 + 12)\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$.
Ответ: $20\sqrt{2}$

г) Упростим выражение $\frac{1}{5}\sqrt{300} - \frac{2}{3}\sqrt{27} + \sqrt{75}$. Вынесем множители из-под знака корня в каждом слагаемом. $\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$. $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$. $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$. Подставим упрощенные значения в выражение: $\frac{1}{5}(10\sqrt{3}) - \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) + 5\sqrt{3}$. Выполним умножение: $2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3}$. Сложим и вычтем коэффициенты при общем множителе $\sqrt{3}$: $(2 - 2 + 5)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Ответ: $5\sqrt{3}$